Determine as assíntotas vertical e horizontal das funções e esboce o gráfico.
\begin{aligned} & \text { b) } f(x)=\frac{5 x^{2}}{x^{2}-4} \end{aligned}
f(x)=\frac{5 x{2}}{x{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as assíntotas vertical e horizontal e esboçar o gráfico da função
f(x)=\frac{5x^{2}}{x^{2}-4}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é uma função racional com numerador 5x^{2} e denominador x^{2}-4.
  • O domínio é todos os x tais que x^{2}-4\neq0, isto é x\neq\pm 2.
  • Precisamos identificar as assíntotas verticais (pontos onde a função tende a \pm\infty) e a(s) assíntota(s) horizontal(is) (limite quando x\to\pm\infty), e depois esboçar o gráfico usando esse comportamento.

Passo 2

Definição prática de assíntota vertical: se em x=a o denominador se anula e a função tende a \pm\infty quando x\to a^{\pm}, então x=a é uma assíntota vertical. Vamos ver onde o denominador se anula:
x^{2}-4=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 2.
Verificar se o numerador também zera nesses pontos: o numerador em x=\pm 2 vale 5(\pm 2)^{2}=5\cdot 4=20\neq 0. Como o numerador é não nulo e o denominador zera, x=\pm 2 são candidatos a assíntotas verticais. Agora calculamos os limites laterais para confirmar o sinal (comportamento para x aproximando de cada lado).

Passo 3

Calcular os limites laterais em x=2 e x=-2. Escrevemos o denominador fatorado:
f(x)=\frac{5x^{2}}{(x-2)(x+2)}.
Comportamento em x=2:
  • Para x\to 2^{+}: x-2>0 pequeno, x+2>0 (aprox 4), numerador >0. Então denominador >0 e
\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=+\infty.
  • Para x\to 2^{-}: x-2<0 pequeno, x+2>0, denominador <0 e
\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=-\infty.
Comportamento em x=-2:
  • Para x\to -2^{+} (valores maiores que -2): x+2>0 pequeno, x-2<0 (aprox -4), denominador <0 e
\lim_{x\to -2^{+}}f(x)=-\infty.
  • Para x\to -2^{-}: x+2<0 pequeno, x-2<0, denominador >0 e
\lim_{x\to -2^{-}}f(x)=+\infty.
Conclusão: os limites laterais são infinitos, portanto x=2 e x=-2 são assíntotas verticais, com os sinais dos limites conforme acima.

Passo 4

Definição prática de assíntota horizontal: se \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L finito, então y=L é assíntota horizontal. Aqui o numerador e o denominador têm o mesmo grau (grau 2), então o limite quando x\to\pm\infty é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Podemos também dividir numerador e denominador por x^{2}:
f(x)=\frac{5x^{2}}{x^{2}-4}=\frac{5}{1-\dfrac{4}{x^{2}}}.
Ao tomar x\to\pm\infty temos \dfrac{4}{x^{2}}\to 0, logo
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\frac{5}{1-0}=5.
Portanto existe uma assíntota horizontal y=5.

Passo 5

Verificação se a curva cruza a assíntota horizontal y=5. Resolver f(x)=5:
\frac{5x^{2}}{x^{2}-4}=5 \quad\Rightarrow\quad 5x^{2}=5(x^{2}-4)\quad\Rightarrow\quad 5x^{2}=5x^{2}-20\quad\Rightarrow\quad 0=-20,
contradição. Logo não há solução: a função nunca atinge y=5. Uma forma útil de ver o sinal relativo é
f(x)-5=\frac{5x^{2}}{x^{2}-4}-5=\frac{20}{x^{2}-4}.
Assim \,f(x)-5>0 quando |x|>2 (portanto para |x|>2 a curva está acima de y=5) e \,f(x)-5<0 quando |x|<2 (portanto para |x|<2 a curva está abaixo de y=5). Isso confirma que a curva não cruza a assíntota y=5.

Passo 6

Outros pontos e monotonicidade para orientar o esboço:
  • Intercepto no eixo y: f(0)=\dfrac{0}{-4}=0. Logo a curva passa por (0,0).
  • Alguns pontos úteis: f(1)=\frac{5\cdot1^{2}}{1-4}=\frac{5}{-3}=-\frac{5}{3}\approx -1{,}666\quad,\quad f(3)=\frac{5\cdot 9}{9-4}=\frac{45}{5}=9.Pelas simetrias, f(-1)=f(1) e f(-3)=f(3) (a função é par, isto é f(-x)=f(x)).
  • Derivada para monotonicidade (rápido cálculo): usando a regra do quociente obtém-se f'(x)=\frac{-40x}{(x^{2}-4)^{2}}.Como o denominador é sempre positivo (quadrado) fora de x=\pm 2, o sinal de f' é o oposto do sinal de x: para x<0 tem-se f'(x)>0 (função crescente) e para x>0 tem-se f'(x)<0 (função decrescente). Portanto:
    • Em (-\infty,-2): f é crescente, tende a 5^{+} quando x\to -\infty e a +\infty quando x\to -2^{-}.
    • Em (-2,0): f é crescente, tende a -\infty quando x\to -2^{+} e chega a f(0)=0.
    • Em (0,2): f é decrescente, sai de 0 e vai a -\infty quando x\to 2^{-}.
    • Em (2,\infty): f é decrescente, sai de +\infty em x\to 2^{+} e tende a 5^{+} quando x\to\infty.

Passo 7

  1. Trace linhas tracejadas verticais em x=-2 e x=2 (assíntotas verticais) e uma linha tracejada horizontal em y=5 (assíntota horizontal).
  2. Marque o ponto (0,0). Marque também pontos (1,-\tfrac{5}{3}), (-1,-\tfrac{5}{3}), (3,9), (-3,9) para referência.
  3. Em (-\infty,-2) desenhe uma curva vindo de y\approx 5 (um pouco acima de 5), subindo (porque é crescente) e indo para +\infty quando se aproxima de x=-2 pela esquerda.
  4. Em (-2,0) desenhe uma curva saindo de -\infty (próximo a x=-2^{+}) subindo até o ponto (0,0).
  5. Em (0,2) desenhe a parte simétrica: desce de 0 para -\infty ao aproximar x=2^{-}.
  6. Em (2,\infty) desenhe a curva saindo de +\infty em x=2^{+}, decrescendo e aproximando-se de y=5 por cima quando x\to\infty.
  7. Lembre que a curva é par (simétrica em relação ao eixo y), então a metade direita espelha a esquerda.

Resposta

Assíntotas verticais: x=-2 e x=2
Assíntota horizontal: y=5

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