Determine as assíntotas vertical e horizontal das funções e esboce o gráfico.
f(x)=\frac{5 x{2}}{x{2}-4}
Passo 1
O enunciado pede: determinar as assíntotas vertical e horizontal e esboçar o gráfico da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é uma função racional com numerador
e denominador . - O domínio é todos os
tais que , isto é . - Precisamos identificar as assíntotas verticais (pontos onde a função tende a
) e a(s) assíntota(s) horizontal(is) (limite quando ), e depois esboçar o gráfico usando esse comportamento.
Passo 2
Definição prática de assíntota vertical: se em
o denominador se anula e a função tende a
quando
, então
é uma assíntota vertical. Vamos ver onde o denominador se anula:
Verificar se o numerador também zera nesses pontos: o numerador em
vale
. Como o numerador é não nulo e o denominador zera,
são candidatos a assíntotas verticais. Agora calculamos os limites laterais para confirmar o sinal (comportamento para
aproximando de cada lado).
Passo 3
Calcular os limites laterais em
e
. Escrevemos o denominador fatorado:
Comportamento em
:
- Para
: pequeno, (aprox ), numerador . Então denominador e
- Para
: pequeno, , denominador e
Comportamento em
:
- Para
(valores maiores que ): pequeno, (aprox ), denominador e
- Para
: pequeno, , denominador e
Conclusão: os limites laterais são infinitos, portanto
e
são assíntotas verticais, com os sinais dos limites conforme acima.
Passo 4
Definição prática de assíntota horizontal: se
finito, então
é assíntota horizontal. Aqui o numerador e o denominador têm o mesmo grau (grau
), então o limite quando
é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Podemos também dividir numerador e denominador por
:
Ao tomar
temos
, logo
Portanto existe uma assíntota horizontal
.
Passo 5
Verificação se a curva cruza a assíntota horizontal
. Resolver
:
contradição. Logo não há solução: a função nunca atinge
. Uma forma útil de ver o sinal relativo é
Assim
quando
(portanto para
a curva está acima de
) e
quando
(portanto para
a curva está abaixo de
). Isso confirma que a curva não cruza a assíntota
.
Passo 6
Outros pontos e monotonicidade para orientar o esboço:
- Intercepto no eixo
: . Logo a curva passa por . - Alguns pontos úteis:
Pelas simetrias, e (a função é par, isto é ). - Derivada para monotonicidade (rápido cálculo): usando a regra do quociente obtém-se
Como o denominador é sempre positivo (quadrado) fora de , o sinal de é o oposto do sinal de : para tem-se (função crescente) e para tem-se (função decrescente). Portanto: - Em
: é crescente, tende a quando e a quando . - Em
: é crescente, tende a quando e chega a . - Em
: é decrescente, sai de e vai a quando . - Em
: é decrescente, sai de em e tende a quando .
- Em
Passo 7
- Trace linhas tracejadas verticais em
e (assíntotas verticais) e uma linha tracejada horizontal em (assíntota horizontal). - Marque o ponto
. Marque também pontos , , , para referência. - Em
desenhe uma curva vindo de (um pouco acima de ), subindo (porque é crescente) e indo para quando se aproxima de pela esquerda. - Em
desenhe uma curva saindo de (próximo a ) subindo até o ponto . - Em
desenhe a parte simétrica: desce de para ao aproximar . - Em
desenhe a curva saindo de em , decrescendo e aproximando-se de por cima quando . - Lembre que a curva é par (simétrica em relação ao eixo
), então a metade direita espelha a esquerda.
Resposta
Assíntotas verticais:
e
Assíntota horizontal:
Assíntota horizontal: