QUESTÃO 1: (4 Pontos)

Uma engrenagem de aço com 0,2%C, cementada em um forno a 950^{\circ} \mathrm{C} com atmosfera de 1 \% \mathrm{C} por 7 horas resultou em concehtração de 0,6 \% \mathrm{C} numa profundidade de 0,5 \mathrm{~mm}. Qual dos dois cenários abaixo resultaria mesma concentração de carbono (0,6 \% \mathrm{C}), porém com maior profundidade (dentre os cenários “a” e “b”):
Cenário a: aumento de 10 \% na temperatura de cementação (e tempo de 7 horas)
Cenário b: aumento de 10 \% no tempo de cementação (e temperatura de 950^{\circ} \mathrm{C} )
Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma comparação:
  • Aço inicial com \,0,2\%\mathrm{C}.
  • Cementação em atmosfera com \,1\%\mathrm{C} a \,950^\circ\mathrm{C} durante \,7 horas resultou em concentração de \,0,6\%\mathrm{C} numa profundidade de \,0,5\\ \mathrm{mm}. (estes são os dados-base)
  • Pergunta: entre os dois cenários abaixo, qual resulta na mesma concentração de superfície ( 0,6\%\mathrm{C}) mas com maior profundidade atingida para essa concentração?
    • Cenário a: aumento de 10\% na temperatura de cementação (tempo mantido em 7 horas).
    • Cenário b: aumento de 10\% no tempo de cementação (temperatura mantida em \,950^\circ\mathrm{C}).
  • Informação que vamos usar: devemos justificar qual cenário dá maior profundidade para a mesma concentração.

Passo 2

Entendendo a física em linguagem simples (sem pular etapas): a cementação é um processo de difusão do carbono para dentro do aço. Para uma superfície mantida numa concentração constante de carbono, a solução da segunda lei de Fick para um meio semi-infinito dá um perfil de concentração do tipo “erfc” (função complementar do erro). A fórmula útil é:
C(x,t)=C_0 + (C_s-C_0)\,\operatorname{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\right),
onde:
  • C(x,t) é a concentração em função da profundidade x e do tempo t;
  • C_0 é a concentração inicial (no volume);
  • C_s é a concentração mantida na superfície;
  • D é o coeficiente de difusão do carbono no aço (depende fortemente da temperatura);
  • \operatorname{erfc} é a função complementar do erro.
Explicação do que isso implica para a profundidade: para atingir uma concentração fixa C^* (no nosso caso 0,6\%), a expressão dentro da \operatorname{erfc} deve ser igual a uma constante \xi que satisfaz \operatorname{erfc}(\xi)=\dfrac{C^*-C_0}{C_s-C_0}. Assim, para essa concentração fixa:
\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}=\xi\quad\Rightarrow\quad x=2\,\xi\,\sqrt{D\,t}.
Portanto, para uma concentração alvo fixa, a profundidade x é proporcional a \sqrt{D\,t}. Em palavras: a profundidade cresce com a raiz quadrada do produto do coeficiente de difusão D pelo tempo t.

Passo 3

Como o coeficiente de difusão D depende da temperatura? Ele obedece à lei de Arrhenius:
D(T)=D_0\exp\!\left(-\frac{Q}{R\,T}\right),
onde:
  • D_0 é um pré-exponencial (constante do material);
  • Q é a energia de ativação da difusão (J/mol);
  • R é a constante dos gases ideais ( R=8,314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)});
  • T é a temperatura absoluta em Kelvin.
Importante: aumentar a temperatura aumenta D de modo exponencial (por isso influencia muito), enquanto aumentar o tempo só entra dentro de \sqrt{t} (efeito muito mais fraco).

Passo 4

Assunções necessárias (explicito para ficar claro):
  • Interpretamos “aumento de 10\% na temperatura” como aumento de 10\% na temperatura absoluta (Kelvin), porque a lei de Arrhenius usa a temperatura em Kelvin. Isso é a escolha física consistente.
  • Precisamos de um valor típico para a energia de ativação Q do carbono em austenita; um valor usual na literatura é Q\approx 142\,000\\ \mathrm{J/mol}. Usaremos esse valor (é o valor típico empregado para estimativas).
  • Converter temperatura: \,950^\circ\mathrm{C}=950+273,15=1223,15\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura aumentada em 10\%: T_2=1,1\;T_1=1,1\cdot 1223,15=1345,465\\ \mathrm{K}.
    Essas escolhas são razoáveis para justificar numericamente o efeito relativo das mudanças.

Passo 5

Calcular quanto o coeficiente de difusão muda ao aumentar 10\% a temperatura:
\frac{D(T_2)}{D(T_1)}=\exp\!\left(-\frac{Q}{R}\Big(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\Big)\right).
Agora numericamente: primeiro calculemos \dfrac{Q}{R}:
\frac{Q}{R}=\frac{142\,000}{8{,}314}\approx 17\,083.
Calcule as recíprocas das temperaturas:
\frac{1}{T_1}=\frac{1}{1223{,}15}\approx 0{,}000817705\quad\text{e}\quad \frac{1}{T_2}=\frac{1}{1345{,}465}\approx 0{,}000743623.
A diferença é
\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\approx -0{,}000074082.
Multiplicando:
-\frac{Q}{R}\Big(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\Big)\approx -17\,083\cdot(-0{,}000074082)\approx 1{,}265.
Portanto
\frac{D(T_2)}{D(T_1)}\approx e^{1{,}265}\approx 3{,}54.
Conclusão: um aumento de 10\% em T (em Kelvin) aumenta D em um fator cerca de 3{,}54.

Passo 6

Agora traduzo isso em profundidade pelo fato x\propto\sqrt{D\,t}. Mantendo t fixo em 7 horas, o fator de aumento da profundidade no Cenário a é
\frac{x_a}{x_0}=\sqrt{\frac{D(T_2)}{D(T_1)}}\approx \sqrt{3{,}54}\approx 1{,}883.
Como o caso-base dá x_0=0{,}5\\ \mathrm{mm} para 0,6\%\mathrm{C}, a nova profundidade aproximada será
x_a\approx 0{,}5\\ \mathrm{mm}\times 1{,}883\approx 0{,}94\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Para o Cenário b (aumento de 10\% no tempo, temperatura inalterada): se t_2=1{,}1\,t_1, o fator de aumento da profundidade é
\frac{x_b}{x_0}=\sqrt{\frac{t_2}{t_1}}=\sqrt{1{,}1}\approx 1{,}0488.
Logo
x_b\approx 0{,}5\\ \mathrm{mm}\times 1{,}0488\approx 0{,}52\\ \mathrm{mm}.

Passo 8

Comparação e justificativa clara e intuitiva:
  • Cenário a (aumento da temperatura) leva a x_a\approx 0{,}94\\ \mathrm{mm}.
  • Cenário b (aumento do tempo) leva a x_b\approx 0{,}52\\ \mathrm{mm}.
    Portanto, o aumento de temperatura dá um aumento de profundidade muito maior. A razão física: temperatura entra exponencialmente em D (lei de Arrhenius), e como x\propto\sqrt{D\,t}, pequenas variações em T podem aumentar D muito e, via raiz quadrada, aumentar consideravelmente a profundidade. Já aumentar o tempo tem efeito apenas via \sqrt{t}, que é uma variação fraca (aumentar t em 10\% só aumenta a profundidade em cerca de 4{,}9\%). Em resumo: para alcançar a mesma concentração mais profundamente, é muito mais eficaz (neste regime) aumentar a temperatura do que aumentar levemente o tempo.

Resposta

Cenário a — aumento de temperatura (produz maior profundidade; x_a\approx 0{,}94\\ \mathrm{mm} enquanto x_b\approx 0{,}52\\ \mathrm{mm}).

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