Questão 3:(2,5 pontos) A equação diferencial de Laguerre é
a) Mostre que
é um ponto singular regular dessa equação. ( 0.6 pontos)
b) Determine a equação indicial, suas raízes e a relação de recorrência. (1.4 pontos)
c) Mostre que a solução em série de potências da equação é de fato um polinômio. (0.5 pontos)
b) Determine a equação indicial, suas raízes e a relação de recorrência. (1.4 pontos)
c) Mostre que a solução em série de potências da equação é de fato um polinômio. (0.5 pontos)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
- Enunciado: a equação diferencial de Laguerre
- Pedidos:
(a) Mostrar queé um ponto singular regular.
(b) Determinar a equação indicial, suas raízes e a relação de recorrência para a solução por Frobenius.
(c) Mostrar que a solução em série de potências é, na verdade, um polinômio.
Informações relevantes dadas (da própria equação):
- Coeficientes diante de
são , e , respectivamente. - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Conceito e teste para ponto singular regular (explicação didática).
- Para uma equação linear de segunda ordem na forma padrão
um ponto
é ponto singular regular se
tem no máximo pólo simples em
e
tem no máximo pólo de ordem
em
. Uma maneira prática: verificar se
e
são analíticos (admitam série de potências) em torno de
.
Aplicação ao nosso caso: primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo por
(note que isso é permitido fora de
):
Aqui
Agora avaliamos
e
:
Ambas as expressões são funções polinomiais (logo analíticas) em torno de
. Portanto
é um ponto singular regular da equação.
Passo 3
Método de Frobenius (explicação didática do que vamos fazer).
- Em um ponto singular regular tenta-se uma solução do tipo Frobenius:
onde
é um número a determinar (chamado expoente indicial). A ideia é substituir essa série na equação, alinhar potências de
e forçar cada coeficiente a zero. O primeiro coeficiente que aparece (o de menor potência) dá a equação indicial que determina
; os coeficientes seguintes conduzem à relação de recorrência entre os
.
Passo 4
Calcular as derivadas da série e substituir na equação (passo a passo).
- Primeiro escrevo
, e :
- Substituo em
.
Calcule cada termo:
Agora somando os termos:
Simplifico o colchete do primeiro somatório:
Logo
Passo 5
Obter a equação indicial (alinhando potências e extraindo o menor expoente).
- O primeiro somatório tem potências
com , portanto o menor expoente que aparece é (quando ). O segundo somatório começa em . - Para combinar tudo em potências
é útil reindexar o primeiro somatório: na primeira soma ponho para que o expoente fique . Procedo com cuidado:
Reindexando o segundo termo da direita (colocando
ou, equivalentemente, trocando
por
):
Então a soma total fica
- O termo de menor potência é o que multiplica
: sua coeficiente deve ser zero. Esse coeficiente é . Como , obtemos a equação indicial:
Logo as raízes são
(raízes iguais, dupla raiz
).
Passo 6
Determinar a relação de recorrência (explicação e simplificação).
- Agora igualamos a zero o coeficiente de
para . O coeficiente de é
Rearranjando para
obtém-se a relação de recorrência geral (válida para
):
Portanto
- Como as duas raízes indiciales coincidem em
, a solução regular principal corresponde a tomar . Substituindo na recorrência obtemos a relação específica:
Passo 7
Interpretar a recorrência e mostrar que a série termina (a solução é polinomial).
- Observe o numerador
da fórmula para . Quando temos , de modo que
- Uma vez que
, a relação de recorrência dá para que é proporcional a (com denominador finito), então ; por indução todos os com serão zero. Assim a série de Frobenius
na verdade tem apenas termos até
, ou seja é um polinômio de grau no máximo
.
- Conclusão: a solução regular obtida via Frobenius (com
e ) é um polinômio de grau . Isso ocorre porque a recorrência tem numerador que anula quando , forçando truncamento da série.
Resposta
(a)
é um ponto singular regular.
(b) Equação indicial: . Raízes:
(dupla). Relação de recorrência geral:
(b) Equação indicial:
e, para a solução principal com
,
(c) Como o numerador
zera para
, tem-se
e, por recorrência, todos os
com
são zero; portanto a série truncam e a solução é um polinômio de grau
.