Questão 2:(2,5 pontos)
Determine o intervalo de convergência da série de potências \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{3 n}}(x+2)^{n}. (1.2 pontos)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{2^{3n}}(x+2)^{n}.
Informações dadas que vamos usar:
A série é centrada em -2 (pois aparece (x+2)^n).
Os coeficientes da potência são a_n=\dfrac{n^{2}}{2^{3n}}=\dfrac{n^{2}}{8^{n}}.
A tarefa é achar o raio de convergência R e, em seguida, verificar os dois pontos finais x=-2\pm R.
Passo 2
Explicando a ideia que vamos usar (régua para provas): para uma série de potências \sum a_n (x-x_0)^n o raio de convergência R pode ser obtido por
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Aqui a_n é o coeficiente (sem a parte (x-x_0)^n) e \sqrt[n]{|a_n|} é a raiz enésima do seu valor absoluto. Depois de achar R, a série converge para todos x tais que |x-x_0|<R; os extremos |x-x_0|=R precisam ser verificados separadamente.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso a_n=\dfrac{n^{2}}{8^{n}}. Primeiro calculemos \sqrt[n]{|a_n|}:
Agora avaliamos o limite quando n\to\infty. Note que \lim_{n\to\infty}n^{2/n}=1 porque
\ln\big(n^{2/n}\big)=\frac{2}{n}\ln n \xrightarrow{n\to\infty}0,
logo n^{2/n}\to e^{0}=1. Assim
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{1}{8}.
Portanto o raio de convergência é
R=\frac{1}{1/8}=8.
Passo 4
Convertendo para a condição em x: a série converge para todos os x tais que
|x+2|<8.
Isso corresponde ao intervalo aberto
(-2-8,\;-2+8)=(-10,\;6).
Passo 5
Agora precisamos verificar os extremos x=6 e x=-10.
Caso x=6: então x+2=8 e o termo geral da série fica
\frac{n^{2}}{8^{n}}\cdot 8^{n}=n^{2}.
Como \lim_{n\to\infty}n^{2}\neq 0 (na verdade tende a +\infty), a condição necessária para convergência de uma série (os termos devem tender a zero) falha. Logo a série diverge em x=6.
Passo 6
Caso x=-10: então x+2=-8 e o termo geral é
\frac{n^{2}}{8^{n}}\cdot(-8)^{n}=n^{2}(-1)^{n}.
O módulo dos termos é n^{2}, que tende a +\infty, portanto os termos não tendem a zero. Pela mesma razão (teste do termo geral) a série diverge em x=-10.