Questão 6) ( 2,0 pontos) - Uma força de 40 N age sobre o bloco de 20 N apoiado em um plano inclinado de 30^{\circ}. Se a velocidade inicial do bloco é 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} plano abaixo, determine sua velocidade após ter descido 10 m . O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é 0,2.

Passo 1

O enunciado dá estas informações e pede uma coisa só (peguei todos os números do enunciado):
  • Peso do bloco: W=20\\ \mathrm{N}.
  • Força aplicada (módulo): F=40\\ \mathrm{N}. (O enunciado não especificou a direção; vamos tratar disso nos passos seguintes.)
  • Plano inclinado com ângulo \alpha=30^\circ.
  • Velocidade inicial ao descer o plano: v_i=5\\ \mathrm{m/s} no sentido para baixo.
  • Deslocamento ao longo do plano: d=10\\ \mathrm{m} (o bloco desceu 10\\ \mathrm{m}).
  • Coeficiente de atrito cinético: \mu_k=0,2.
    O que se pede: determinar a velocidade final v_f do bloco após ter descido d=10\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Interpretação da força de 40\\ \mathrm{N} (direção): o enunciado só diz que “uma força de 40\\ \mathrm{N} age sobre o bloco” sem dizer para cima ou para baixo do plano. Como o bloco está descendo e a pergunta pede a velocidade depois de descer 10\\ \mathrm{m}, a interpretação mais natural (e a que conduz a uma solução física onde o bloco continua descendo) é que a força de 40\\ \mathrm{N} esteja aplicada ao longo do plano no mesmo sentido do deslocamento (isto é, para baixo do plano), ajudando a acelerar o bloco. Se a força estivesse dirigida para cima do plano, haveria possibilidade do bloco parar antes de percorrer 10\\ \mathrm{m}; isso levaria a outro tipo de análise (parada e reversão). Vou, portanto, assumir que F age para baixo ao longo do plano.

Passo 3

Escolha do método: vou usar o teorema do trabalho e energia (método energético). Explico o porquê e a fórmula usada:
  • O teorema do trabalho-energia diz que o trabalho líquido realizado sobre o corpo é igual à variação da energia cinética:
W_{\text{líquido}}=\Delta K=\frac{1}{2}m\bigl(v_f^2-v_i^2\bigr).í
Aqui:
  • W_{\text{líquido}}í é a soma dos trabalhos de todas as forças que atuam durante o deslocamento d.
  • m é a massa do bloco (pode ser obtida a partir do peso W por m=W/g, com g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}).
    Essa abordagem é direta porque nos permite somar os trabalhos das forças (gravidade, força aplicada e atrito) sem escrever equações vetoriais de aceleração e integrar.

Passo 4

Calcular os trabalhos das forças envolvidas (cada passo com explicação do conceito):
  1. Trabalho da força peso ao longo do plano (componente tangencial): a componente do peso paralela ao plano é W\sin\alpha. Para um deslocamento d no sentido para baixo do plano, o trabalho da componente tangencial da gravidade é positivo e vale
W_g = (W\sin\alpha)\,d.
Substituindo números:
W\sin\alpha = 20\cdot\sin 30^\circ = 20\cdot \tfrac{1}{2}=10\\ \mathrm{N},
logo
W_g = 10\cdot 10 = 100\\ \mathrm{J}.
  1. Trabalho da força aplicada F: como assumi que F está no mesmo sentido do deslocamento, seu trabalho é positivo e dado por
W_F = F\,d = 40\cdot 10 = 400\\ \mathrm{J}.
  1. Trabalho da força de atrito cinético: atrito cinético tem módulo f_k=\mu_k N, onde N é a normal. A normal para o bloco no plano é a componente perpendicular do peso: N=W\cos\alpha. Portanto
N = 20\cos 30^\circ = 20\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\\ \mathrm{N}.
Assim o atrito é
f_k=\mu_k N = 0{,}2\cdot 10\sqrt{3}=2\sqrt{3}\\ \mathrm{N}.
Como o atrito sempre se opõe ao movimento, seu trabalho sobre o deslocamento para baixo do plano é negativo:
W_f = -f_k d = -(2\sqrt{3})\cdot 10 = -20\sqrt{3}\\ \mathrm{J}.
Numérico aproximado: -20\sqrt{3}\approx -34{,}64\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Somar os trabalhos para obter o trabalho líquido:
W_{\text{líquido}}=W_g+W_F+W_f = 100+400-20\sqrt{3}=500-20\sqrt{3}\\ \mathrm{J}.í
Valor numérico aproximado:
W_{\text{líquido}}\approx 100+400-34{,}64\approx 465{,}36\\ \mathrm{J}.í

Passo 6

Aplicar o teorema do trabalho-energia para encontrar v_f. Escrevemos
\frac{1}{2}m\bigl(v_f^2-v_i^2\bigr)=W_{\text{líquido}}.í
Isolando v_f^2:
v_f^2 = v_i^2 + \frac{2W_{\text{líquido}}}{m}.í
Já que o enunciado deu o peso W, é prático usar m=W/g. Então
\frac{2}{m}=\frac{2}{W/g}=\frac{2g}{W}.
Substituindo g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} e W=20\\ \mathrm{N},
\frac{2}{m}=\frac{2\cdot 9{,}8}{20}= \frac{19{,}6}{20}=0{,}98.
Portanto
v_f^2 = v_i^2 + 0{,}98\;W_{\text{líquido}}.í
Substituindo v_i^2=5^2=25 e W_{\text{líquido}}=500-20\sqrt{3}í,
v_f^2 = 25 + 0{,}98\bigl(500-20\sqrt{3}\bigr).
Fazendo as contas passo a passo:
0{,}98\cdot 500 = 490, \qquad 0{,}98\cdot 20\sqrt{3} = 19{,}6\sqrt{3}\approx 33{,}947.
Logo
v_f^2 \approx 25 + (490 - 33{,}947) = 25 + 456{,}053 = 481{,}053.
E finalmente
v_f \approx \sqrt{481{,}053}\approx 21{,}93\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida: a velocidade aumentou de 5{,}0\\ \mathrm{m/s} para cerca de 21{,}9\\ \mathrm{m/s}, o que faz sentido porque uma força de 40\\ \mathrm{N} atuando a favor do movimento e a componente do peso também contribuíram para acelerar o bloco; o atrito só reduz um pouco essa aceleração. Se, em vez disso, a força de 40\\ \mathrm{N} estivesse dirigida para cima do plano, o resultado seria diferente (possivelmente o bloco pararia antes de 10\\ \mathrm{m}) — por isso deixei claro a suposição feita sobre a direção da força.

Resposta

v_f \approx 21{,}9\\ \mathrm{m/s}

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