Um tanque esférico de gás tem raio interno 1,20 \mathrm{~m}. Se for submetido a uma pressão de 360 kPa , determine a espessura exigida de sua parede para que a tensão normal máxima não ultrapasse 12,0 MPa.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a espessura mínima da parede do tanque esférico para não exceder a tensão normal máxima:
  • Raio interno do tanque: r=1,20\\ \mathrm{m}.
  • Pressão interna aplicada: p=360\\ \mathrm{kPa}.
  • Tensão normal máxima admissível: \sigma_{\max}=12{,}0\\ \mathrm{MPa}.
O que se pede: determinar a espessura t da parede tal que a máxima tensão de tração na casca esférica não ultrapasse \sigma_{\max}.

Passo 2

Qual fórmula usar e por que ela vale (derivação física, bem devagarinho).
Para uma casca esférica submetida a pressão interna p, as duas tensões de membrana (meridional e circunferencial) são iguais e valem
\sigma = \frac{p\,r}{2\,t}.
Vou explicar por que essa fórmula é correta de forma simples e baseada em equilíbrio de forças:
  • Corte imaginário a meio da esfera (um hemisfério). A pressão interna atua sobre a área projetada circular do hemisfério; essa área projetada é \pi r^{2}. Assim, a força resultante para cima (provida da pressão) é
F_{p}=p\cdot \pi r^{2}.
  • Essa força é equilibrada pelas tensões na parede ao longo da circunferência de corte. A tensão de membrana \sigma atua na espessura t ao longo de toda a circunferência de comprimento 2\pi r. A resultante de todas essas forças tangenciais que têm componente vertical somada dá
F_{\sigma}=2\pi r\,t\,\sigma.
(A maneira prática de ver o fator 2 é notar que, na esfera, há contribuição equivalente de duas direções in-plane que sustentam o hemisfério, resultando nesse termo; o equilíbrio entre F_p e F_\sigma é a forma padrão de derivar a fórmula acima.)
  • Equilibrando forças: F_{p}=F_{\sigma}. Portanto
p\pi r^{2}=2\pi r\,t\,\sigma \quad\Longrightarrow\quad \sigma=\frac{p\,r}{2\,t}.
Essa é a fórmula que usaremos. Ela pressupõe uma casca delgada (espessura pequena em relação ao raio), condição que vamos verificar depois.

Passo 3

Isolar a espessura t na fórmula (algebra passo a passo):
Partindo de
\sigma=\frac{p\,r}{2\,t},
multiplicando ambos os lados por 2t e dividindo por \sigma obtemos
2t=\frac{p\,r}{\sigma}\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{p\,r}{2\,\sigma}.
Como queremos que a tensão não ultrapasse \sigma_{\max}, usamos \sigma=\sigma_{\max} para obter a espessura mínima:
t_{\min}=\frac{p\,r}{2\,\sigma_{\max}}.

Passo 4

Converter unidades para SI e substituir números (mostrando conta com calma).
Converter p e \sigma_{\max} para pascal:
p=360\\ \mathrm{kPa}=360\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}, \qquad \sigma_{\max}=12{,}0\\ \mathrm{MPa}=12{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Substituindo em
t_{\min}=\frac{p\,r}{2\,\sigma_{\max}}
temos
t_{\min}=\frac{(360\times10^{3})\cdot(1{,}20)}{2\cdot(12{,}0\times10^{6})}.
Calcule passo a passo:
p\,r=(360\times10^{3})\cdot1{,}20=432\times10^{3}=432000.
2\,\sigma_{\max}=2\cdot(12{,}0\times10^{6})=24{,}0\times10^{6}=24\,000\,000.
Portanto
t_{\min}=\frac{432000}{24\,000\,000}.

Passo 5

Divisão final e conversão para milímetros:
t_{\min}=\frac{432000}{24\,000\,000}=0{,}018\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros:
0{,}018\\ \mathrm{m}=18{,}0\\ \mathrm{mm}.
Verificação da hipótese de casca delgada: t/r=0{,}018/1{,}20=0{,}015 (ou 1{,}5\%), que é pequeno (normalmente aceita-se casca delgada se t/r<0{,}1), logo a fórmula de casca delgada é válida aqui.

Resposta

t=0{,}018\\ \mathrm{m}=18{,}0\\ \mathrm{mm}

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