Um tanque esférico de gás tem raio interno
. Se for submetido a uma pressão de 360 kPa , determine a espessura exigida de sua parede para que a tensão normal máxima não ultrapasse 12,0 MPa.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a espessura mínima da parede do tanque esférico para não exceder a tensão normal máxima:
- Raio interno do tanque:
. - Pressão interna aplicada:
. - Tensão normal máxima admissível:
.
O que se pede: determinar a espessura
da parede tal que a máxima tensão de tração na casca esférica não ultrapasse
.
Passo 2
Qual fórmula usar e por que ela vale (derivação física, bem devagarinho).
Para uma casca esférica submetida a pressão interna , as duas tensões de membrana (meridional e circunferencial) são iguais e valem
Para uma casca esférica submetida a pressão interna
Vou explicar por que essa fórmula é correta de forma simples e baseada em equilíbrio de forças:
- Corte imaginário a meio da esfera (um hemisfério). A pressão interna atua sobre a área projetada circular do hemisfério; essa área projetada é
. Assim, a força resultante para cima (provida da pressão) é
- Essa força é equilibrada pelas tensões na parede ao longo da circunferência de corte. A tensão de membrana
atua na espessura ao longo de toda a circunferência de comprimento . A resultante de todas essas forças tangenciais que têm componente vertical somada dá
(A maneira prática de ver o fator
é notar que, na esfera, há contribuição equivalente de duas direções in-plane que sustentam o hemisfério, resultando nesse termo; o equilíbrio entre
e
é a forma padrão de derivar a fórmula acima.)
- Equilibrando forças:
. Portanto
Essa é a fórmula que usaremos. Ela pressupõe uma casca delgada (espessura pequena em relação ao raio), condição que vamos verificar depois.
Passo 3
Isolar a espessura
na fórmula (algebra passo a passo):
Partindo de
Partindo de
multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
obtemos
Como queremos que a tensão não ultrapasse
, usamos
para obter a espessura mínima:
Passo 4
Converter unidades para SI e substituir números (mostrando conta com calma).
Converter
e
para pascal:
Substituindo em
temos
Calcule passo a passo:
Portanto
Passo 5
Divisão final e conversão para milímetros:
Convertendo para milímetros:
Verificação da hipótese de casca delgada:
(ou
), que é pequeno (normalmente aceita-se casca delgada se
), logo a fórmula de casca delgada é válida aqui.