1^{\underline{a}} - Um ressalto usinado de eixo, apresenta diâmetro menor d de 1,1in e diâmetro maior D de 1,65 \mathrm{in} e raio do filete igual a 0,10 \mathrm{in} .0 momento fletor é de 1.260 \mathrm{lbf} . \mathrm{in}, \mathrm{e} o momento permanente de torção é de 1.100lbf.in.
O eixo é de aço termotratado e apresenta uma resistência final de Sut =105 \mathrm{kpsi} e uma resistência ao escoamento de \mathrm{Sy}=82 \mathrm{kpsi}. A meta de confiabilidade é de 99 \% ( C conf =0,814 ). Considerando \mathrm{Mm}=\mathrm{Ta}=0 ; \mathrm{Ma}=1.260 \mathrm{lbf}.in; \mathrm{Tm}=1.100 \mathrm{lbf} . \mathrm{in} ; \mathrm{Sy}=82 \mathrm{kpsi} ; \mathrm{Nf}=2. Verifique se o diâmetro do eixo a ser empregado atende aos esforços mencionados.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede para verificar se o diâmetro do eixo atende aos esforços:
  • Diâmetros: diâmetro menor (seção crítica) \,d=1{,}10\\ \text{in}\, e diâmetro maior \,D=1{,}65\\ \text{in}\,.
  • Raio do filete: \,r=0{,}10\\ \text{in}\,.
  • Momentos aplicados:
    • Momento fletor alternante: \,M_a=1{,}260\\ \text{lbf}\cdot\text{in}\,.
    • Momento torçor permanente (médio): \,T_m=1{,}100\\ \text{lbf}\cdot\text{in}\,.
    • Foi indicado \,M_m=0 e \,T_a=0.
  • Propriedades do material:
    • Resistência à tração final: \,S_{ut}=105\\ \text{ksi}\,.
    • Limite de escoamento: \,S_y=82\\ \text{ksi}\,.
  • Meta de confiabilidade: \,C_{\text{conf}}=0{,}814 (fator de confiabilidade a aplicar na estimativa do limite de resistência à fadiga).
  • Informação extra: \,N_f=2 (valor dado no enunciado; não é número de ciclos, assume-se que já foram consideradas certas condições — usarei os dados essenciais acima).
  • Pedido explícito: Verificar se o diâmetro do eixo (isto é, a seção crítica de diâmetro \,d=1{,}10\\ \text{in}\,) atende aos esforços aplicados, considerando fadiga combinada (flexão alternante + torção média).

Passo 2

Qual será o procedimento (resumo do método que vou aplicar, sem resolver ainda):
  • Determinar as tensões nominais geradas por cada carregamento na seção crítica:
    • tensão normal alternante por flexão \sigma_a (pela fórmula da viga circular).
    • tensão de cisalhamento média por torção \tau_m.
  • Introduzir efeitos geométricos de concentrador de tensões (filete): obter fatores geométricos teóricos K_t (para flexão) e K_{ts} (para torção) a partir de cartas/valores típicos para razão \,D/d e \,r/d.
  • Converter K_t e K_{ts} em fatores de concentração efetivos para fadiga ( K_f, K_{fs}) usando sensibilidade à entalhe q (valores típicos para aço).
  • Calcular tensões efetivas alternante e média equivalentes (usando combinação von Mises para obter um único termo alternante e um termo médio).
  • Estimar o limite de resistência à fadiga corrigido \,S_e usando \,S_e'=0{,}5 S_{ut} e multiplicando pelos fatores de superfície, tamanho, carregamento, temperatura, confiabilidade etc. (usarei C_{\text{conf}} como fator de confiabilidade).
  • Aplicar o critério de Goodman modificado para calcular o fator de segurança \,n ou checar a inequação de fadiga: \frac{\sigma_{a,\text{eq}}}{S_e}+\frac{\sigma_{m,\text{eq}}}{S_{ut}}\le\frac{1}{n}.
  • Concluir se o diâmetro atende, com base no fator de segurança obtido comparado a critérios usuais.

Passo 3

Cálculo das tensões nominais (sem concentradores):
  • Fórmula da tensão de flexão para seção circular (vale para o valor alternante devido a M_a):
    \sigma_a=\frac{32\,M_a}{\pi d^{3}}.
    Explicação: para uma seção circular, o momento de inércia é I=\dfrac{\pi d^{4}}{64} e a distância da fibra neutra até a superfície é c=\dfrac{d}{2}. Substituindo em \sigma=M c/I resulta na fórmula acima.
    Substituindo os valores:
    d=1{,}10\\ \text{in},\qquad M_a=1{,}260\\ \text{lbf}\cdot\text{in},
\sigma_a=\frac{32\cdot 1{,}260}{\pi\cdot(1{,}10)^{3}}.
Calculemos:
(1{,}10)^{3}=1{,}331,\qquad 32\cdot1{,}260=40{,}320,
\pi\cdot1{,}331\approx4{,}183,
\sigma_a\approx\frac{40{,}320}{4{,}183}\approx 9{,}64\\ \text{ksi}.
  • Fórmula da tensão de cisalhamento por torção (valor médio devido a T_m):
    \tau_m=\frac{16\,T_m}{\pi d^{3}}.
    Explicação: para seção circular, tensão máxima de cisalhamento na superfície é \tau = T c/J com J=\dfrac{\pi d^{4}}{32} e c=\dfrac{d}{2}, resultando na fórmula acima.
    Substituindo:
    T_m=1{,}100\\ \text{lbf}\cdot\text{in},
\tau_m=\frac{16\cdot 1{,}100}{\pi\cdot(1{,}10)^{3}}=\frac{17{,}600}{4{,}183}\approx 4{,}21\\ \text{ksi}.
Resumo até aqui:
\sigma_a\approx 9{,}64\\ \text{ksi},\qquad \tau_m\approx 4{,}21\\ \text{ksi}.

Passo 4

Estimativa dos fatores de concentração geométrica K_t e K_{ts} para o filete (uso de cartas ou valores tabelados):
  • Variáveis geométricas importantes: \frac{D}{d}=\frac{1{,}65}{1{,}10}=1{,}5,\qquad \frac{r}{d}=\frac{0{,}10}{1{,}10}\approx 0{,}0909.
  • A partir de cartas padrão para filete de ombro (Peterson / Shigley), para \,D/d=1{,}5 e \,r/d\approx0{,}09 costuma-se encontrar valores aproximados: K_t\\ (\text{flexão})\approx 1{,}9\quad\text{e}\quad K_{ts}\\ (\text{torção})\approx 1{,}6.ãçãObservação didática: esses K_t são fatores teóricos de concentração elástica (valor máximo da tensão teórica comparado com a nominal). Para precisão absoluta usa-se a carta específica; aqui estou usando valores típicos para essa geometria.

Passo 5

Convertendo K_t e K_{ts} em fatores efetivos de fadiga K_f e K_{fs} via sensibilidade ao entalhe q:
  • Conceito: a tensão efetiva na fadiga não aumenta tanto quanto o K_t elástico, porque materiais têm sensibilidade limitada ao entalhe. Usa-se: K_f=1+q\,(K_t-1),\qquad K_{fs}=1+q_s\,(K_{ts}-1),onde q e q_s são sensibilidades ao entalhe para carregamento normal (flexão) e cisalhamento (torção). Valores de q dependem do raio do filete r e de uma constante de material a (Peterson): q=\dfrac{1}{1+\dfrac{a}{r}}. Em prática, para aços temperados com raio \,r=0{,}10\\ \text{in} a sensibilidade é relativamente alta (próxima a 1), portanto adotarei valores típicos razoáveis.
  • Adotando valores típicos (estimativa conservadora e usual em exercícios práticos): q\approx 0{,}90\quad\text{(flexão)},\qquad q_s\approx 0{,}85\quad\text{(torção)}.ãçã
  • Então: K_f=1+0{,}90\,(1{,}9-1)=1+0{,}90\cdot0{,}9=1+0{,}81=1{,}81,
K_{fs}=1+0{,}85\,(1{,}6-1)=1+0{,}85\cdot0{,}6=1+0{,}51=1{,}51.
Comentário: se no seu exame você tiver as cartas de K_t e a constante a do material, use-as para obter q mais preciso. Aqui estou tomando valores típicos para aço temperado e r razoável.

Passo 6

Calcular as tensões efetivas alternante e média equivalentes (critério de von Mises para combinação flexão + torção):
  • Primeiro, tensão alternante equivalente (não há alternância na torção, então \tau_a=0). A fórmula para tensão alternante equivalente de von Mises é:
    \sigma_{a,\text{eq}}=\sqrt{(\sigma_a K_f)^{2}+3(\tau_a K_{fs})^{2}}.
    Como \tau_a=0,
    \sigma_{a,\text{eq}}=\sigma_a K_f.
    Substituindo:
    \sigma_{a,\text{eq}}=9{,}64\\ \text{ksi}\times 1{,}81\approx 17{,}46\\ \text{ksi}.
  • Em seguida, tensão média equivalente (não há momento fletor médio, \sigma_m=0; existe torção média \tau_m), a componente média equivalente pela forma von Mises é:
    \sigma_{m,\text{eq}}=\sqrt{(\sigma_m K_f)^{2}+3(\tau_m K_{fs})^{2}}.
    Como \sigma_m=0,
    \sigma_{m,\text{eq}}=\sqrt{3}\,(\tau_m K_{fs}).
    Substituindo:
    \sigma_{m,\text{eq}}=\sqrt{3}\times(4{,}21\\ \text{ksi}\times 1{,}51).
    Calculemos:
    4{,}21\times1{,}51\approx 6{,}36\\ \text{ksi},
\sqrt{3}\approx1{,}732,\qquad \sigma_{m,\text{eq}}\approx 1{,}732\times 6{,}36\approx 11{,}02\\ \text{ksi}.
Resumo:
\sigma_{a,\text{eq}}\approx 17{,}46\\ \text{ksi},\qquad \sigma_{m,\text{eq}}\approx 11{,}02\\ \text{ksi}.

Passo 7

Estimativa do limite de fadiga corrigido \,S_e:
  • Primeira aproximação clássica para aço: \,S_e'=0{,}5 S_{ut} para \,S_{ut}\le 200\\ \text{ksi}. Assim: S_e'=0{,}5\cdot 105\\ \text{ksi}=52{,}5\\ \text{ksi}.Explicação: S_e' é o limite de resistência à fadiga para amostra de referência polida em pequeno diâmetro sob carregamento rotativo.
  • Aplicam-se fatores correção (produto k_a k_b k_c k_d k_e k_f). Aqui considerarei os fatores principais e o fator de confiabilidade fornecido:
    • Fator de acabamento superficial (machined/turned): k_a. Para eixo usinado costuma-se ter k_a da ordem de 0{,}80\! 0{,}90 dependendo de S_{ut}. Adotarei k_a=0{,}82 (valor típico para peça usinada com o Sut dado).
    • Fator de tamanho k_b para eixo sólido de diâmetro \,d=1{,}10\\ \text{in}: típico k_b\approx0{,}85.
    • Fator de carregamento k_c: para flexão (carregamento que reduz Se) costuma-se k_c=1{,}0 (a fórmula de Se’ já considera carregamento rotativo; aqui o carregamento dominante em alternância é flexão, adota-se k_c=1 como aproximação).
    • Fator temperatura k_d=1{,}0 (pressupomos condições ambientes).
    • Fator de confiabilidade k_e=C_{\text{conf}}=0{,}814 (fornecido no enunciado para 99% de confiabilidade).
    • Fator de segurança para superfície de notches k_f (aqui não aplicamos outro fator adicional; consideramos k_f=1 pois já estamos tratando concentradores via K_f).
  • Produto dos fatores: k_{\text{prod}}=k_a k_b k_c k_d k_e k_f\approx 0{,}82\times 0{,}85\times 1{,}0\times1{,}0\times0{,}814\times1 \approx 0{,}5679.
  • Assim: S_e = S_e'\cdot k_{\text{prod}} \approx 52{,}5\\ \text{ksi}\times 0{,}5679 \approx 29{,}81\\ \text{ksi}.
Interpretação: o limite de fadiga efetivo (para vida longa e com 99% de confiabilidade e acabamento/tamanho do eixo) fica em cerca de \,29{,}8\\ \text{ksi}.

Passo 8

Aplicar o critério de Goodman modificado para obter o fator de segurança \,n:
  • Fórmula usada (Goodman modificada, forma linear): \frac{\sigma_{a,\text{eq}}}{S_e}+\frac{\sigma_{m,\text{eq}}}{S_{ut}}=\frac{1}{n}.Aqui: \sigma_{a,\text{eq}}\approx 17{,}46\\ \text{ksi},\qquad \sigma_{m,\text{eq}}\approx 11{,}02\\ \text{ksi},
S_e\approx29{,}81\\ \text{ksi},\qquad S_{ut}=105\\ \text{ksi}.
  • Calculemos as frações: \frac{\sigma_{a,\text{eq}}}{S_e}\approx\frac{17{,}46}{29{,}81}\approx 0{,}586,
\frac{\sigma_{m,\text{eq}}}{S_{ut}}\approx\frac{11{,}02}{105}\approx 0{,}105.
  • Soma: \frac{\sigma_{a,\text{eq}}}{S_e}+\frac{\sigma_{m,\text{eq}}}{S_{ut}}\approx 0{,}586+0{,}105=0{,}691.
  • Portanto o fator de segurança: n=\frac{1}{0{,}691}\approx 1{,}45.
Interpretação: com as aproximações adotadas, o eixo apresenta um fator de segurança em fadiga (Goodman) de aproximadamente \,n\approx 1{,}45.

Passo 9

Conclusão técnica e comentários práticos (interpretação do resultado):
  • Resultado numérico: fator de segurança em fadiga (Goodman modificado) \,n\approx 1{,}45.
  • Significado prático:
    • Se o critério do projeto exigir apenas resistência estática (comparar esforços com S_y) o eixo provavelmente estaria suficientemente forte estaticamente; mas aqui o controle é por fadiga (há momento fletor alternante).
    • Para projetos típicos de componentes rotativos, valores de projeto exigidos para fadiga costumam variar: alguns projetos aceitam \,n=1{,}0 quando se busca apenas não-fratura (difícil), muitos projetos industriais exigem \,n\ge 1{,}5 a 2{,}0 dependendo da criticidade. Com \,n\approx 1{,}45 o eixo fica entre “aceitável” e “marginal”: atende se o requisito de projeto for \,n\le 1{,}45 (por exemplo se o projetista aceitar \,n=1{,}25 em serviço controlado), mas NÃO atende se o requisito mínimo for \,n\ge 1{,}5.
  • Observações e recomendações práticas para aumentar a segurança:
    • Aumentar o raio do filete (por exemplo para r=0{,}15 0{,}20\\ \text{in}) reduz K_t e melhora n.
    • Alisar a superfície (melhor acabamento) reduz o fator de superfície k_a e aumenta S_e.
    • Aumentar o diâmetro crítico d (por exemplo para 1{,}25 in) aumenta muito a resistência à flexão (escala d^3) e, provavelmente, garante n\ge1{,}5.
    • Para decisão final em projeto: obter K_t e q diretamente das cartas para a geometria exata e recalcular; também confirmar k_a e k_b a partir de tabelas (essas escolhas impactam bastante o valor final).

Resposta

Fator de segurança (Goodman modificado) estimado: n\approx 1{,}45.
Conclusão: Com as aproximações usadas, o eixo de diâmetro \,d=1{,}10\\ \text{in}\, é marginal — atende se o requisito de projeto permitir n\le 1{,}45, mas NÃO atende se for exigido n\ge 1{,}50.

Exercícios relacionados