Questão 3) A luminária de 80 kg é sustentada por duas hastes, AB e BC . Se AB tiver diâmetro de 10 mm e BC tiver diâmetro de 8 mm , determine a tensão normal média em cada haste.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar a tensão normal média em cada haste (AB e BC), ou seja a tensão axial média \sigma = \dfrac{F}{A} em cada uma delas.
Informações relevantes dadas (peguei algumas da imagem):
  • Massa da luminária: m = 80\\ \text{kg}.
  • Aceleração da gravidade: vou usar g = 9,81\\ \text{m/s}^2 para calcular o peso W = mg.
  • Diâmetro da haste AB: d_{AB} = 10\\ \text{mm}.
  • Diâmetro da haste BC: d_{BC} = 8\\ \text{mm}.
  • A haste AB faz um ângulo de 60^\circ com a horizontal (essa indicação foi retirada da imagem).
  • A haste BC tem uma orientação indicada por um triângulo 3\!:\!4\!:\!5 (peguei isso da imagem), portanto os componentes trigonométricos da inclinação de BC são:
    • \sin(\theta_{BC}) = \dfrac{3}{5},
    • \cos(\theta_{BC}) = \dfrac{4}{5}.
  • O enunciado pede as tensões médias (assumo tensões axiais uniformes), então usarei a fórmula \sigma = \dfrac{T}{A}, onde T é a força axial (tração) na haste e A é a área da secção transversal.

Passo 2

Primeira ideia física e modelo: equilíbrio de forças no nó B.
  • As duas hastes AB e BC puxam para cima em B com forças axiais (tensões) T_{AB} e T_{BC}. A luminária exerce para baixo o peso W = mg.
  • Como o ponto B está em equilíbrio estático, somatório das forças horizontais e verticais é zero.
  • Vou decompor as tensões em componentes horizontal e vertical e escrever as equações de equilíbrio.

Passo 3

Calcular o peso da luminária:
W = mg = 80 \times 9,81 = 784,8\\ \text{N}.

Passo 4

Definir ângulos e componentes das forças (uso trigonometria simples).
  • Para AB: ângulo com a horizontal \theta_{AB} = 60^\circ. Logo as componentes de T_{AB} são:
    • componente horizontal (para a esquerda): T_{AB}\cos 60^\circ = T_{AB}\cdot \dfrac{1}{2},
    • componente vertical (para cima): T_{AB}\sin 60^\circ = T_{AB}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Para BC: a imagem indica um triângulo 3\!:\!4\!:\!5, portanto \sin\theta_{BC}=\dfrac{3}{5} e \cos\theta_{BC}=\dfrac{4}{5}. As componentes de T_{BC} são:
    • componente horizontal (para a direita): T_{BC}\cos\theta_{BC}=T_{BC}\cdot \dfrac{4}{5},
    • componente vertical (para cima): T_{BC}\sin\theta_{BC}=T_{BC}\cdot \dfrac{3}{5}.

Passo 5

Escrever as equações de equilíbrio (somatório de forças horizontais e verticais = 0).
  • Horizontal: as componentes horizontais se equilibram:
T_{BC}\cdot \dfrac{4}{5} - T_{AB}\cdot \dfrac{1}{2} = 0.
  • Vertical: as componentes verticais somam e equilibram o peso:
T_{AB}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + T_{BC}\cdot \dfrac{3}{5} = 784,8.

Passo 6

Resolver a equação horizontal para relacionar T_{AB} e T_{BC}.
T_{BC}\cdot \dfrac{4}{5} = T_{AB}\cdot \dfrac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad T_{AB} = T_{BC}\cdot \frac{\tfrac{4}{5}}{\tfrac{1}{2}} = T_{BC}\cdot \frac{4}{5}\cdot 2 = T_{BC}\cdot \frac{8}{5}.
Portanto
T_{AB} = 1{,}6\;T_{BC}.

Passo 7

Substituir T_{AB} na equação vertical e resolver para T_{BC}.
Substituindo:
\left(1{,}6\,T_{BC}\right)\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + T_{BC}\cdot \dfrac{3}{5} = 784,8.
Fatorando T_{BC}:
T_{BC}\left(1{,}6\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{3}{5}\right) = 784,8.
Calcular os coeficientes numéricos:
1{,}6\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 0{,}8\sqrt{3} \approx 0{,}8\times 1{,}732 = 1{,}3856, \qquad \dfrac{3}{5} = 0{,}6.
Somando:
1{,}3856 + 0{,}6 = 1{,}9856.
Logo
T_{BC} = \dfrac{784,8}{1{,}9856} \approx 395{,}2\\ \text{N}.

Passo 8

Calcular T_{AB} usando T_{AB} = 1{,}6\,T_{BC}:
T_{AB} = 1{,}6 \times 395{,}2 \approx 632{,}3\\ \text{N}.

Passo 9

Calcular as áreas das seções transversais (assumo secção circular).
  • Área de AB:
A_{AB} = \pi\left(\dfrac{d_{AB}}{2}\right)^2 = \pi\left(\dfrac{10\\ \text{mm}}{2}\right)^2 = \pi (5\\ \text{mm})^2 = 25\pi\\ \text{mm}^2 \approx 78{,}54\\ \text{mm}^2.
  • Área de BC:
A_{BC} = \pi\left(\dfrac{d_{BC}}{2}\right)^2 = \pi\left(\dfrac{8\\ \text{mm}}{2}\right)^2 = \pi (4\\ \text{mm})^2 = 16\pi\\ \text{mm}^2 \approx 50{,}27\\ \text{mm}^2.

Passo 10

Calcular as tensões normais médias \sigma = \dfrac{T}{A}. Vou expressar em \text{N/mm}^2 (que equivale a MPa).
  • Para AB:
\sigma_{AB} = \dfrac{T_{AB}}{A_{AB}} = \dfrac{632{,}3}{25\pi} \approx \dfrac{632{,}3}{78{,}54} \approx 8{,}06\\ \text{N/mm}^2.
  • Para BC:
\sigma_{BC} = \dfrac{T_{BC}}{A_{BC}} = \dfrac{395{,}2}{16\pi} \approx \dfrac{395{,}2}{50{,}27} \approx 7{,}86\\ \text{N/mm}^2.

Passo 11

Interpretação rápida (pra te animar): as tensões ficam da ordem de 8\\ \text{MPa}, valores moderados — as duas hastes trabalham praticamente com tensões próximas porque embora T_{AB} seja maior, sua área também é maior.

Resposta

\sigma_{AB} \approx 8{,}06\\ \text{MPa}
\sigma_{BC} \approx 7{,}86\\ \text{MPa}

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