Questão 3) A luminária de 80 kg é sustentada por duas hastes, AB e BC . Se AB tiver diâmetro de 10 mm e BC tiver diâmetro de 8 mm , determine a tensão normal média em cada haste.
Passo 1
O que o problema pede:
- Determinar a tensão normal média em cada haste (AB e BC), ou seja a tensão axial média
em cada uma delas.
Informações relevantes dadas (peguei algumas da imagem):
- Massa da luminária:
. - Aceleração da gravidade: vou usar
para calcular o peso . - Diâmetro da haste AB:
. - Diâmetro da haste BC:
. - A haste AB faz um ângulo de
com a horizontal (essa indicação foi retirada da imagem). - A haste BC tem uma orientação indicada por um triângulo
(peguei isso da imagem), portanto os componentes trigonométricos da inclinação de BC são: -
, -
.
-
- O enunciado pede as tensões médias (assumo tensões axiais uniformes), então usarei a fórmula
, onde é a força axial (tração) na haste e é a área da secção transversal.
Passo 2
Primeira ideia física e modelo: equilíbrio de forças no nó
.
- As duas hastes AB e BC puxam para cima em
com forças axiais (tensões) e . A luminária exerce para baixo o peso . - Como o ponto
está em equilíbrio estático, somatório das forças horizontais e verticais é zero. - Vou decompor as tensões em componentes horizontal e vertical e escrever as equações de equilíbrio.
Passo 3
Calcular o peso da luminária:
Passo 4
Definir ângulos e componentes das forças (uso trigonometria simples).
- Para AB: ângulo com a horizontal
. Logo as componentes de são: - componente horizontal (para a esquerda):
, - componente vertical (para cima):
.
- componente horizontal (para a esquerda):
- Para BC: a imagem indica um triângulo
, portanto e . As componentes de são: - componente horizontal (para a direita):
, - componente vertical (para cima):
.
- componente horizontal (para a direita):
Passo 5
Escrever as equações de equilíbrio (somatório de forças horizontais e verticais = 0).
- Horizontal: as componentes horizontais se equilibram:
- Vertical: as componentes verticais somam e equilibram o peso:
Passo 6
Resolver a equação horizontal para relacionar
e
.
Portanto
Passo 7
Substituir
na equação vertical e resolver para
.
Substituindo:
Substituindo:
Fatorando
:
Calcular os coeficientes numéricos:
Somando:
Logo
Passo 8
Calcular
usando
:
Passo 9
Calcular as áreas das seções transversais (assumo secção circular).
- Área de AB:
- Área de BC:
Passo 10
Calcular as tensões normais médias
. Vou expressar em
(que equivale a MPa).
- Para AB:
- Para BC:
Passo 11
Interpretação rápida (pra te animar): as tensões ficam da ordem de
, valores moderados — as duas hastes trabalham praticamente com tensões próximas porque embora
seja maior, sua área também é maior.