Questão 1. {2,5 pontos} Para um frequência angular
, a reatância de um certo capacitor é igual à reatância de um certo indutor.
(b) Se a frequência variar para
, qual deverá ser a razão entre a reatância do indutor e a reatância do capacitor? Qual das duas reatâncias é a mais elevada?
(b) Se a frequência variar para
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: para uma frequência angular ω₁, a reatância do capacitor (X_C) é igual à reatância do indutor (X_L). Depois a frequência muda para ω₃ = ω₁/3 e a gente precisa descobrir a razão
X_L(ω₃) / X_C(ω₃)
e dizer qual das duas reatâncias fica maior nessa nova frequência.
Conteúdo: circuito em corrente alternada, reatâncias de capacitor e indutor. Fórmulas que vamos usar:
X_L = ω·L
X_C = 1/(ω·C)
X_L(ω₃) / X_C(ω₃)
e dizer qual das duas reatâncias fica maior nessa nova frequência.
Conteúdo: circuito em corrente alternada, reatâncias de capacitor e indutor. Fórmulas que vamos usar:
X_L = ω·L
X_C = 1/(ω·C)
Passo 2
Primeiro, escrevemos a condição em ω₁:
X_L(ω₁) = X_C(ω₁)
ou seja
ω₁·L = 1/(ω₁·C).
Dessa igualdade a gente vê que em ω₁ as duas reatâncias valem o mesmo número, que vou chamar de X₁:
X₁ = ω₁·L = 1/(ω₁·C).
X_L(ω₁) = X_C(ω₁)
ou seja
ω₁·L = 1/(ω₁·C).
Dessa igualdade a gente vê que em ω₁ as duas reatâncias valem o mesmo número, que vou chamar de X₁:
X₁ = ω₁·L = 1/(ω₁·C).
Passo 3
Agora vamos ver o que acontece em ω₃ = ω₁/3.
- Reatância do indutor:
X_L(ω₃) = ω₃·L = (ω₁/3)·L.
Mas como L = X₁/ω₁, isso dá
X_L(ω₃) = (ω₁/3)·(X₁/ω₁) = X₁/3. - Reatância do capacitor:
X_C(ω₃) = 1/(ω₃·C) = 1/((ω₁/3)·C).
E como C = 1/(ω₁·X₁), vem
ω₃·C = (ω₁/3)·(1/(ω₁·X₁)) = 1/(3·X₁),
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X_C(ω₃) = 3·X₁.
Passo 4
Agora a razão pedida:
X_L(ω₃) / X_C(ω₃) = (X₁/3) / (3·X₁) = 1/9.
X_L(ω₃) / X_C(ω₃) = (X₁/3) / (3·X₁) = 1/9.
Resposta
A razão entre a reatância do indutor e a do capacitor em ω₃ é 1/9, e quem fica maior é a reatância do capacitor.