O potencial eletrostático a uma distância r>0 devido a uma carga puntiforme Q é, de acordo com a lei de Coulomb, a função escalar dada por V=14 pi epsilon0 Qr.
Calcule, em coordenadas cartesianas, o gradiente nabla V.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem o potencial eletrostático de uma carga pontual Q dado por
V(r)=14piepsilon0,Qr, r>0
E a tarefa é achar o gradiente nabla V em coordenadas cartesianas.
Conteúdo envolvido: gradiente (que é um operador de derivadas parciais de uma função escalar), regra da cadeia e cálculo de derivadas de potenciais do tipo r^-1.

Passo 2

Primeiro a gente lembra que r é a distância ao ponto de origem em coordenadas cartesianas, ou seja
r = raizx^2 + y^2 + z^2
Isso é importante porque vamos reescrever V como função de (x,y,z).

Passo 3

Substituindo r na expressão de V, definimos uma constante k = 14piepsilon0 e temos
V(x,y,z) = k,Q,(x^2 + y^2 + z^2)^-tfrac12
Agora nossa missão é calcular as derivadas parciais partial V/partial x, partial V/partial y e partial V/partial z.

Passo 4

Lembra do gradiente:
nabla V = (partial Vpartial x,,partial Vpartial y,,partial Vpartial z)
Cada componente pede que a gente trate y,z (ou x,z, ou x,y) como constantes e aplique a regra da cadeia na potência (-1/2).

Passo 5

Vamos fazer partial Vpartial x passo a passo:
  1. V = kQ,(u)^-1/2, com u = x^2+y^2+z^2.
  2. pela regra da cadeia,
partial Vpartial x = kQ,ddu(u^-1/2);partial upartial x
3) Sabendo que dfracddu(u^-1/2) = -tfrac12,u^-3/2 e tfracpartial upartial x = 2x, vem
partial Vpartial x = kQl(-tfrac12,u^-3/2r),(2x) = -,kQ,x,(x^2+y^2+z^2)^-3/2

Passo 6

Pelos mesmos motivos (só trocando x por y ou z), a gente obtém
partial Vpartial y = -,kQ,y,(x^2+y^2+z^2)^-3/2,
partial Vpartial z = -,kQ,z,(x^2+y^2+z^2)^-3/2

Passo 7

Juntando tudo no vetor gradiente:
nabla V = -,kQ,(x^2+y^2+z^2)^-3/2,(x,,y,,z)
Lembrando que k=14piepsilon0 e r^2=x^2+y^2+z^2, podemos escrever de uma forma bem conhecida:
nabla V = -14piepsilon0;Qr^3;(x,,y,,z)

Resposta

boxednabla V(x,y,z) = -14piepsilon0,Q(x^2+y^2+z^2)^3/2,(x,,y,,z)

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