O potencial eletrostático a uma distância
devido a uma carga puntiforme
é, de acordo com a lei de Coulomb, a função escalar dada por
.
Calcule, em coordenadas cartesianas, o gradiente
.
Calcule, em coordenadas cartesianas, o gradiente
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem o potencial eletrostático de uma carga pontual
dado por
E a tarefa é achar o gradiente
Conteúdo envolvido: gradiente (que é um operador de derivadas parciais de uma função escalar), regra da cadeia e cálculo de derivadas de potenciais do tipo
Passo 2
Primeiro a gente lembra que
é a distância ao ponto de origem em coordenadas cartesianas, ou seja
Isso é importante porque vamos reescrever
Passo 3
Substituindo
na expressão de
, definimos uma constante
e temos
Agora nossa missão é calcular as derivadas parciais
Passo 4
Lembra do gradiente:
Cada componente pede que a gente trate
Passo 5
Vamos fazer
passo a passo:
-
, com . - pela regra da cadeia,
3) Sabendo que
Passo 6
Pelos mesmos motivos (só trocando
por
ou
), a gente obtém
Passo 7
Juntando tudo no vetor gradiente:
Lembrando que
e
, podemos escrever de uma forma bem conhecida: