Questão 3 ( 2.5 pontos). Uma indústria de blocos de concreto produz unidades utilizadas na construção civil, com peso nominal de 20 kg . O peso dos blocos deve se manter próximo do valor nominal para garantir a uniformidade das estruturas e a segurança das construções. A variância do peso é de 0.64 \mathrm{~kg}^{2}, e assume-se que os pesos seguem distribuição normal. Para controle de qualidade, 30 blocos são amostrados a cada hora e pesados, e a média dos pesos amostrais é usada para avaliar se o processo está operando corretamente.
  • Ao nível de significância \alpha=0.01, teste as hipóteses
\mathrm{H}_{0}: \mu=20 \quad \text { vs } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 20 .
  • Dado que a média amostral foi \bar{x}_{30}=19.5, qual é a decisão?

Passo 1

O enunciado pede que façamos um teste de hipóteses ao nível de significância \alpha=0,01 para verificar se a média do peso dos blocos difere de 20 kg. Dados fornecidos e informações relevantes:
\begin{aligned} &\mathrm{H}_0: \mu = 20,\qquad \mathrm{H}_1: \mu \neq 20,\\\ &\text{variância populacional } \sigma^2 = 0,64\\ \mathrm{kg}^2,\\\ &\text{logo } \sigma = \sqrt{0,64} = 0,8\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{tamanho da amostra } n = 30,\\\ &\text{média amostral dada: } \bar{x}_{30} = 19{,}5. \end{aligned}âé

Passo 2

Qual teste usar e por quê (explicação didática):
  • Quando a variância populacional \sigma^2 é conhecida usamos o teste Z para a média. A estatística baseia-se na distribuição normal padrão porque assumimos que os pesos são normais (o enunciado diz isso) e \sigma é conhecida.
  • A ideia prática: computamos uma distância padronizada entre \bar{X} e \mu_0 (o valor sob \mathrm{H}_0) dividida pelo erro padrão da média. Essa distância segue, sob \mathrm{H}_0, a distribuição normal padrão N(0,1).

Passo 3

Fórmula da estatística de teste e significado das variáveis (aula curta):
Z \;=\; \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{X} é a média amostral,
  • \mu_0 é o valor da média sob \mathrm{H}_0,
  • \sigma é o desvio-padrão populacional (conhecido),
  • n é o tamanho da amostra,
  • \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média (quanto a média amostral costuma variar).
Agora calculamos passo a passo os números:
\sigma = 0{,}8,\qquad \sqrt{n}=\sqrt{30}\approx 5{,}477225575.
O erro padrão é
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0{,}8}{\sqrt{30}}\approx \frac{0{,}8}{5{,}477225575}\approx 0{,}1469\\ \text{(aprox.)}.
Usando a forma que evita arredondamento intermediário:
Z=\frac{19{,}5-20}{0{,}8/\sqrt{30}} = (-0{,}5)\cdot\frac{\sqrt{30}}{0{,}8}\approx -0{,}5\cdot 6{,}846531969 \approx -3{,}4233.

Passo 4

Regra de decisão pelo método dos valores críticos (explicação):
  • Como o teste é bicaudal ( \mathrm{H}_1: \mu\neq 20), dividimos \alpha em duas caudas: \alpha/2=0{,}005.
  • O quantil correspondente da normal padrão é \;z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}995}\approx 2{,}5758.
  • Regra: rejeitar \mathrm{H}_0 se |Z|>2{,}5758.

Passo 5

Comparação numérica e conclusão (com p-valor):
  • Calculamos |Z|\approx 3{,}4233. Como 3{,}4233>2{,}5758, a estatística cai na região de rejeição.
  • Podemos também calcular o p-valor: \text{p-valor}=2\cdot P(Z>3{,}4233). Consultando a tabela da normal padrão ou usando aproximação, P(Z>3{,}4233)\approx 0{,}00031, logo \text{p-valor}\approx 2\cdot 0{,}00031=0{,}00062.
  • Como \text{p-valor}\approx 0{,}00062<\alpha=0{,}01, rejeitamos \mathrm{H}_0.
  • Interpretação prática: com a amostra observada ( \bar{x}=19{,}5 kg) há evidência estatística, ao nível 1\%, de que a média do peso dos blocos difere de 20 kg (neste caso, a média observada sugere blocos mais leves).

Passo 6

Dica prática para a prova (resumão que você pode decorar):
  1. Identifique se \sigma é conhecida: sim → teste Z; não → teste t.
  2. Escreva Z=(\bar x-\mu_0)/(\sigma/\sqrt{n}).
  3. Calcule Z e compare com z_{1-\alpha/2} para teste bicaudal.
  4. Alternativamente calcule p-valor e compare com \alpha.
    Essa sequência é rápida e segura em prova quando tiver variância conhecida.

Resposta

Regra crítica: rejeitar \mathrm{H}_0 se |Z|>2{,}5758.\nCom \bar{x}_{30}=19{,}5 temos Z\approx -3{,}4233, \text{p-valor}\approx 0{,}00062. Rejeita-se \mathrm{H}_0 ao nível \alpha=0{,}01.

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