Questão 3 ( 2.5 pontos). Uma indústria de blocos de concreto produz unidades utilizadas na construção civil, com peso nominal de 20 kg . O peso dos blocos deve se manter próximo do valor nominal para garantir a uniformidade das estruturas e a segurança das construções. A variância do peso é de
, e assume-se que os pesos seguem distribuição normal. Para controle de qualidade, 30 blocos são amostrados a cada hora e pesados, e a média dos pesos amostrais é usada para avaliar se o processo está operando corretamente.
- Ao nível de significância
, teste as hipóteses
- Dado que a média amostral foi
, qual é a decisão?
Passo 1
O enunciado pede que façamos um teste de hipóteses ao nível de significância
para verificar se a média do peso dos blocos difere de
kg. Dados fornecidos e informações relevantes:
Passo 2
Qual teste usar e por quê (explicação didática):
- Quando a variância populacional
é conhecida usamos o teste Z para a média. A estatística baseia-se na distribuição normal padrão porque assumimos que os pesos são normais (o enunciado diz isso) e é conhecida. - A ideia prática: computamos uma distância padronizada entre
e (o valor sob ) dividida pelo erro padrão da média. Essa distância segue, sob , a distribuição normal padrão .
Passo 3
Fórmula da estatística de teste e significado das variáveis (aula curta):
Aqui:
-
é a média amostral, -
é o valor da média sob , -
é o desvio-padrão populacional (conhecido), -
é o tamanho da amostra, -
é o erro padrão da média (quanto a média amostral costuma variar).
Agora calculamos passo a passo os números:
O erro padrão é
Usando a forma que evita arredondamento intermediário:
Passo 4
Regra de decisão pelo método dos valores críticos (explicação):
- Como o teste é bicaudal (
), dividimos em duas caudas: . - O quantil correspondente da normal padrão é
. - Regra: rejeitar
se .
Passo 5
Comparação numérica e conclusão (com p-valor):
- Calculamos
. Como , a estatística cai na região de rejeição. - Podemos também calcular o p-valor:
. Consultando a tabela da normal padrão ou usando aproximação, , logo . - Como
, rejeitamos . - Interpretação prática: com a amostra observada (
kg) há evidência estatística, ao nível , de que a média do peso dos blocos difere de kg (neste caso, a média observada sugere blocos mais leves).
Passo 6
Dica prática para a prova (resumão que você pode decorar):
- Identifique se
é conhecida: sim → teste Z; não → teste t. - Escreva
. - Calcule
e compare com para teste bicaudal. - Alternativamente calcule p-valor e compare com
.
Essa sequência é rápida e segura em prova quando tiver variância conhecida.
Resposta
Regra crítica: rejeitar
se
.\nCom
temos
,
. Rejeita-se
ao nível
.