Questão 2 ( 2.5 pontos). Foram avaliadas 180 peças usinadas e verificou-se que o comprimento médio final após o processo de fresamento é de
. Estudos anteriores indicam que a variância do processo pode ser considerada igual a 1,21
. Determine um intervalo de confiança, para
, do comprimento médio das peças produzidas.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pede: determinar um intervalo de confiança para o comprimento médio das peças com nível de confiança
. - Dados fornecidos:
(tamanho da amostra), (comprimento médio amostral), (variância do processo, assumida conhecida), (nível de confiança). - Quantidade auxiliar que vamos usar:
e .
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicação didática).
Quando a variância populacional é conhecida, o intervalo de confiança para a média populacional
é obtido usando a distribuição normal padrão. A ideia é: a média amostral
tem distribuição aproximada normal centrada em
com desvio padrão
. Formalmente, a estatística padronizada
Quando a variância populacional
tem distribuição aproximadamente
. Então um intervalo de confiança bilateral de nível
para
é
onde:
-
é a média amostral (aqui ); -
é o desvio padrão populacional (aqui vem de ); -
é o tamanho da amostra; -
é o quantil tal que para .
Essa fórmula é usada porque conhecemos
. Se não conhecêssemos
, teríamos de usar a distribuição
de Student (mas aqui não é o caso).
Passo 3
Calcular o desvio padrão populacional
a partir da variância dada.
A variância é . Então
A variância é
Explanação rápida: tirar raiz quadrada é a operação inversa de elevar ao quadrado; como
, temos
.
Passo 4
Determinar o valor crítico
.
Temos . O valor crítico
é o número positivo tal que a área à direita é
, ou seja, a área à esquerda é
. Consultando a tabela da normal padrão ou usando inversa da normal, obtemos
Temos
Comentário didático: em tabelas normalmente aparecem quantis como para
(
para 95%) e aqui precisamos de 99% então usamos
(à esquerda) que dá
.
Passo 5
Calcular o erro-padrão
.
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Então
Explicação: o erro-padrão mede a variabilidade da média amostral; dividir
por
reduz a incerteza conforme a amostra cresce.
Passo 6
Calcular a margem de erro
.
Usando os valores calculados:
Usando os valores calculados:
Interpretação: com 99% de confiança, a média verdadeira está a, no máximo, cerca de
mm de
.
Passo 7
Montar o intervalo de confiança e calcular os extremos.
A fórmula dá
A fórmula dá
Portanto
Arredondando de forma prática para quatro casas decimais (ou conforme a precisão desejada), temos aproximadamente
e
.
Passo 8
Interpretação final e dica para a prova.
Significa que, com nível de confiança , podemos afirmar que o comprimento médio das peças está entre cerca de
mm e
mm. Na prova: verifique sempre se a variância é conhecida (usa-se
) ou desconhecida (usa-se
); calcule
a partir da variância, calcule
, o erro-padrão, o
correspondente ao
dado e multiplique para obter a margem de erro.
Significa que, com nível de confiança