Questão 2 ( 2.5 pontos). Foram avaliadas 180 peças usinadas e verificou-se que o comprimento médio final após o processo de fresamento é de 105,4 \mathrm{~mm}. Estudos anteriores indicam que a variância do processo pode ser considerada igual a 1,21 \mathrm{mm}^{2}. Determine um intervalo de confiança, para \gamma=0.99, do comprimento médio das peças produzidas.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede: determinar um intervalo de confiança para o comprimento médio das peças com nível de confiança \gamma=0,99.
  • Dados fornecidos: n=180 (tamanho da amostra), \bar{x}=105,4 (comprimento médio amostral), \sigma^{2}=1,21 (variância do processo, assumida conhecida), \gamma=0,99 (nível de confiança).
  • Quantidade auxiliar que vamos usar: \alpha=1-\gamma=0,01 e \alpha/2=0,005.

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicação didática).
Quando a variância populacional \sigma^{2} é conhecida, o intervalo de confiança para a média populacional \mu é obtido usando a distribuição normal padrão. A ideia é: a média amostral \bar{X} tem distribuição aproximada normal centrada em \mu com desvio padrão \sigma/\sqrt{n}. Formalmente, a estatística padronizada
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}
tem distribuição aproximadamente N(0,1). Então um intervalo de confiança bilateral de nível \gamma para \mu é
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=105,4);
  • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui vem de \sigma^{2}=1,21);
  • n é o tamanho da amostra;
  • z_{\alpha/2} é o quantil tal que \Pr(Z>z_{\alpha/2})=\alpha/2 para Z\sim N(0,1).
Essa fórmula é usada porque conhecemos \sigma^{2}. Se não conhecêssemos \sigma^{2}, teríamos de usar a distribuição t de Student (mas aqui não é o caso).

Passo 3

Calcular o desvio padrão populacional \sigma a partir da variância dada.
A variância é \sigma^{2}=1,21. Então
\sigma=\sqrt{1,21}=1,1.
Explanação rápida: tirar raiz quadrada é a operação inversa de elevar ao quadrado; como 1{,}1^{2}=1{,}21, temos \sigma=1{,}1.

Passo 4

Determinar o valor crítico z_{\alpha/2}.
Temos \alpha/2=0{,}005. O valor crítico z_{0{,}005} é o número positivo tal que a área à direita é 0{,}005, ou seja, a área à esquerda é 0{,}995. Consultando a tabela da normal padrão ou usando inversa da normal, obtemos
z_{0{,}005}\approx 2{,}5758.
Comentário didático: em tabelas normalmente aparecem quantis como para 0{,}975 ( z\approx1{,}96 para 95%) e aqui precisamos de 99% então usamos 0{,}995 (à esquerda) que dá z\approx2{,}5758.

Passo 5

Calcular o erro-padrão \sigma/\sqrt{n}.
Primeiro calcule \sqrt{n}:
\sqrt{180}\approx 13{,}4164.
Então
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{1{,}1}{\sqrt{180}}\approx\frac{1{,}1}{13{,}4164}\approx 0{,}081969.
Explicação: o erro-padrão mede a variabilidade da média amostral; dividir \sigma por \sqrt{n} reduz a incerteza conforme a amostra cresce.

Passo 6

Calcular a margem de erro E=z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Usando os valores calculados:
E\approx 2{,}5758\times 0{,}081969\approx 0{,}2110919.
Interpretação: com 99% de confiança, a média verdadeira está a, no máximo, cerca de 0{,}2111 mm de \bar{x}.

Passo 7

Montar o intervalo de confiança e calcular os extremos.
A fórmula dá
\bar{x}\pm E.
Portanto
\text{limite inferior}=\bar{x}-E\approx 105{,}4-0{,}2110919\approx 105{,}1889081,
\text{limite superior}=\bar{x}+E\approx 105{,}4+0{,}2110919\approx 105{,}6110919.
Arredondando de forma prática para quatro casas decimais (ou conforme a precisão desejada), temos aproximadamente 105{,}1889 e 105{,}6111.

Passo 8

Interpretação final e dica para a prova.
Significa que, com nível de confiança 99\%, podemos afirmar que o comprimento médio das peças está entre cerca de 105{,}1889 mm e 105{,}6111 mm. Na prova: verifique sempre se a variância é conhecida (usa-se z) ou desconhecida (usa-se t); calcule \sigma a partir da variância, calcule \sqrt{n}, o erro-padrão, o z_{\alpha/2} correspondente ao \gamma dado e multiplique para obter a margem de erro.

Resposta

IC_{0,99}=[105{,}1889;\,105{,}6111]

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