Uma região do país é conhecida por ter uma população obesa. Sabe-se que a distribuição de probabilidade do peso dos homens entre 20 e 30 anos dessa região é normal com média de 90 kg . Um endocrinologista, juntamente com um professor de educação física, estão propondo um tratamento para combater a obesidade que consiste de exercícios físicos, dietas e ingestão de um medicamento. Eles afirmam que com o tratamento o peso médio dos homens dessa faixa etária diminuirá num período de três meses. Para verificar essa afirmação, o tratamento foi aplicado a uma amostra aleatória de
homens da faixa etária de 20 a 30 anos e foi observado o peso desses homens após três meses, obtendo-se um peso médio de
, com o desvio padrão igual a 10 kg . Considerando
, o que podemos concluir a respeito do tratamento proposto?
Resp:
(teste unilateral à esquerda); Rejeita-se
.
Passo 1
Dados fornecidos e o que o problema pede:
- Média populacional sob hipótese nula:
kg. - Tamanho da amostra:
. - Média amostral observada:
kg. - Desvio padrão amostral:
kg. - Nível de significância:
. - Pedido: testar a afirmação dos pesquisadores de que, após o tratamento de três meses, o peso médio dos homens nessa faixa etária diminuiu. Ou seja, decidir se há evidência estatística, ao nível
, de que a média populacional diminuiu.
Passo 2
Formulação das hipóteses (escrevendo claramente o que se quer provar):
- Hipótese nula:
- Hipótese alternativa (os pesquisadores afirmam que a média diminuiu):
Isto é um teste unilateral à esquerda (buscamos evidência de redução da média).
Passo 3
Escolha do teste e justificativa (por que usamos esse teste):
- A distribuição do peso é normal (dado no enunciado).
- O desvio padrão populacional
não foi fornecido; temos apenas o desvio amostral . - Para testar a média de uma normal quando
é desconhecido usamos o teste t de Student para uma amostra. - O número de graus de liberdade será
.
Portanto usaremos o teste t unilateral à esquerda com.
Passo 4
Fórmula da estatística de teste e interpretação das variáveis:
A estatística do teste é
A estatística do teste é
Onde:
-
é a média amostral observada. -
é a média sob . -
é o desvio padrão amostral. -
é o tamanho da amostra.
Essa estatística segue, sob, a distribuição com graus de liberdade.
Passo 5
Cálculo passo a passo da estatística
:
- Calcular a raiz quadrada de
:
- Calcular o erro padrão da média (desvio padrão amostral dividido pela raiz de
):
- Calcular a diferença entre a média amostral e
:
- Calcular a estatística
:
Passo 6
Valor crítico e regra de decisão:
- Para teste unilateral à esquerda com
e , o valor crítico (usando tabela t) é
portanto o limite crítico à esquerda é
. (Note que
é o quantil positivo correspondente a área
à esquerda; para o teste à esquerda usamos o negativo.)
- Regra de decisão: rejeitar
se .
Passo 7
Comparação e conclusão formal do teste:
- Tendo
e , vemos que
- Logo caímos na região de rejeição. Portanto rejeita-se
ao nível de significância .
Interpretação: há evidência estatística suficiente, ao nível de, para concluir que o tratamento reduz a média de peso dos homens entre 20 e 30 anos.
Passo 8
Cálculo aproximado do p-valor (intuição adicional):
- Para
com , olhando na tabela de t vemos que (dois caudas ). Como é ligeiramente menor que , o p-valor do teste bicaudal seria ligeiramente maior que ; assim o p-valor unilateral (nosso caso) é aproximadamente . - Conclusão com p-valor:
, reforçando a rejeição de .
Passo 9
Comentário prático e final (tom amigo e encorajador):
- Estatisticamente o tratamento apresenta efeito: a média caiu em cerca de
kg ( ). Com , o tamanho do efeito (Cohen’s d) seria cerca de , que é um efeito moderado — ou seja, além de ser estatisticamente significativo, pode ter relevância prática, mas isso depende do contexto clínico. - Bom sinal! Dá para dizer que, com essa amostra, há evidências de que o tratamento reduz o peso médio. Em prova, lembre-se de justificar o uso do teste t (σ desconhecido) e mostrar as contas como fizemos.