Uma região do país é conhecida por ter uma população obesa. Sabe-se que a distribuição de probabilidade do peso dos homens entre 20 e 30 anos dessa região é normal com média de 90 kg . Um endocrinologista, juntamente com um professor de educação física, estão propondo um tratamento para combater a obesidade que consiste de exercícios físicos, dietas e ingestão de um medicamento. Eles afirmam que com o tratamento o peso médio dos homens dessa faixa etária diminuirá num período de três meses. Para verificar essa afirmação, o tratamento foi aplicado a uma amostra aleatória de \mathrm{n}=30 homens da faixa etária de 20 a 30 anos e foi observado o peso desses homens após três meses, obtendo-se um peso médio de 85,54 \mathrm{~kg}, com o desvio padrão igual a 10 kg . Considerando \alpha=5 \%, o que podemos concluir a respeito do tratamento proposto?
Resp: z_{\text {calc }}=-2,44 ; z_{\text {tab }}=-1,699 (teste unilateral à esquerda); Rejeita-se H_{0}.

Passo 1

Dados fornecidos e o que o problema pede:
  • Média populacional sob hipótese nula: \mu_0=90 kg.
  • Tamanho da amostra: n=30.
  • Média amostral observada: \bar{x}=85,54 kg.
  • Desvio padrão amostral: s=10 kg.
  • Nível de significância: \alpha=5\%.
  • Pedido: testar a afirmação dos pesquisadores de que, após o tratamento de três meses, o peso médio dos homens nessa faixa etária diminuiu. Ou seja, decidir se há evidência estatística, ao nível \alpha=5\%, de que a média populacional diminuiu.

Passo 2

Formulação das hipóteses (escrevendo claramente o que se quer provar):
  • Hipótese nula: H_0:\\ \mu = \mu_0 = 90
  • Hipótese alternativa (os pesquisadores afirmam que a média diminuiu): H_1:\\ \mu < 90
Isto é um teste unilateral à esquerda (buscamos evidência de redução da média).

Passo 3

Escolha do teste e justificativa (por que usamos esse teste):
  • A distribuição do peso é normal (dado no enunciado).
  • O desvio padrão populacional \sigma não foi fornecido; temos apenas o desvio amostral s.
  • Para testar a média de uma normal quando \sigma é desconhecido usamos o teste t de Student para uma amostra.
  • O número de graus de liberdade será \nu = n-1 = 29.
    Portanto usaremos o teste t unilateral à esquerda com \nu=29.

Passo 4

Fórmula da estatística de teste e interpretação das variáveis:
A estatística do teste é
t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}.
Onde:
  • \bar{x} é a média amostral observada.
  • \mu_0 é a média sob H_0.
  • s é o desvio padrão amostral.
  • n é o tamanho da amostra.
    Essa estatística segue, sob H_0, a distribuição t com \nu=n-1 graus de liberdade.

Passo 5

Cálculo passo a passo da estatística t:
  1. Calcular a raiz quadrada de n:
\sqrt{n}=\sqrt{30}\approx 5,4772256.
  1. Calcular o erro padrão da média (desvio padrão amostral dividido pela raiz de n):
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{10}{5,4772256}\approx 1,8257419.
  1. Calcular a diferença entre a média amostral e \mu_0:
\bar{x}-\mu_0 = 85,54-90 = -4,46.
  1. Calcular a estatística t:
t_{\text{calc}}=\frac{-4,46}{1,8257419}\approx -2,4439\approx -2,44.

Passo 6

Valor crítico e regra de decisão:
  • Para teste unilateral à esquerda com \alpha=0{,}05 e \nu=29, o valor crítico (usando tabela t) é
t_{0{,}95,\;29}=1{,}699,
portanto o limite crítico à esquerda é -1{,}699. (Note que t_{0{,}95,29} é o quantil positivo correspondente a área 0{,}95 à esquerda; para o teste à esquerda usamos o negativo.)
  • Regra de decisão: rejeitar H_0 se t_{\text{calc}} < -1{,}699.

Passo 7

Comparação e conclusão formal do teste:
  • Tendo t_{\text{calc}} \approx -2{,}44 e t_{\text{crítico}} = -1{,}699í, vemos que
-2{,}44 < -1{,}699.
  • Logo caímos na região de rejeição. Portanto rejeita-se H_0 ao nível de significância \alpha=5\%.
    Interpretação: há evidência estatística suficiente, ao nível de 5\%, para concluir que o tratamento reduz a média de peso dos homens entre 20 e 30 anos.

Passo 8

Cálculo aproximado do p-valor (intuição adicional):
  • Para |t|=2{,}44 com \nu=29, olhando na tabela de t vemos que t_{29,0{,}99}=2{,}462 (dois caudas =0{,}02). Como 2{,}44 é ligeiramente menor que 2{,}462, o p-valor do teste bicaudal seria ligeiramente maior que 0{,}02; assim o p-valor unilateral (nosso caso) é aproximadamente 0{,}01.
  • Conclusão com p-valor: p\approx 0{,}01 < \alpha=0{,}05, reforçando a rejeição de H_0.

Passo 9

Comentário prático e final (tom amigo e encorajador):
  • Estatisticamente o tratamento apresenta efeito: a média caiu em cerca de 4{,}46 kg ( 90-85{,}54). Com s=10, o tamanho do efeito (Cohen’s d) seria cerca de 0{,}446, que é um efeito moderado — ou seja, além de ser estatisticamente significativo, pode ter relevância prática, mas isso depende do contexto clínico.
  • Bom sinal! Dá para dizer que, com essa amostra, há evidências de que o tratamento reduz o peso médio. Em prova, lembre-se de justificar o uso do teste t (σ desconhecido) e mostrar as contas como fizemos.

Resposta

t_{\text{calc}}=-2,44; t_{\text{tab}}=-1,699 (teste unilateral à esquerda, \alpha=5\%).\nRejeita-se H_0.\nHá evidências de que o tratamento reduz o peso médio.

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