Questão 4 ( 2,0 pontos) - Método da Secante

Considere:
h(x)=e^{-x}+x^{2}-2 .
(a) Justifique a escolha de pontos iniciais x_{0} e x_{1} no intervalo [0,2] com base no sinal da função.
(b) Aplique o método da Secante por até 6 iterações ou até que:
\left|x_{k+1}-x_{k}\right|<5 \times 10^{-4} .

Passo 1

Enunciado e dados relevantes que temos: a função é
h(x)=e^{-x}+x^{2}-2 .
O exercício pede duas coisas:
  1. (a) Justificar a escolha de pontos iniciais x_{0} e x_{1} no intervalo [0,2] com base no sinal da função.
  2. (b) Aplicar o método da Secante por até 6 iterações ou até que
\left|x_{k+1}-x_{k}\right|<5\times10^{-4}.
Informações importantes fornecidas: o intervalo [0,2] e a tolerância 5\times10^{-4}. Não há outras condições adicionais.

Passo 2

Escolha dos pontos iniciais com base no sinal de h. Vamos avaliar h em alguns pontos do intervalo [0,2] para encontrar pontos com sinais opostos (isso garante que exista pelo menos uma raiz entre eles, pelo teorema do valor intermediário).
Calculemos:
h(0)=e^{0}+0^{2}-2=1-2=-1.
h(1)=e^{-1}+1^{2}-2=e^{-1}-1\approx0{,}3678794412-1=-0{,}6321205588.
h(2)=e^{-2}+2^{2}-2=e^{-2}+2\approx0{,}1353352832+2=2{,}1353352832.
Observações que justificam a escolha: h(1) é negativo e h(2) é positivo, portanto existe pelo menos uma raiz em (1,2). Por isso é uma escolha natural e eficiente tomar
x_{0}=1,\qquad x_{1}=2.

Passo 3

Apresentação do método da Secante (fórmula e interpretação). O método da Secante gera aproximações da raiz usando a reta que passa por (x_{k-1},h(x_{k-1})) e (x_{k},h(x_{k})). A fórmula de iteração é
x_{k+1}=x_{k}-h(x_{k})\frac{x_{k}-x_{k-1}}{h(x_{k})-h(x_{k-1})}.
Interpretação das variáveis: x_{k-1} e x_{k} são as duas aproximações mais recentes; h(x_{k-1}) e h(x_{k}) são os valores da função nesses pontos. O quociente \dfrac{x_{k}-x_{k-1}}{h(x_{k})-h(x_{k-1})} é a inversa da inclinação da secante; multiplicando por h(x_k) obtemos o deslocamento a ser subtraído de x_k para obter a nova aproximação x_{k+1}.

Passo 4

Preparação numérica inicial (relembrando valores já calculados):
x_{0}=1,\qquad h(x_{0})\approx-0{,}6321205588,
x_{1}=2,\qquad h(x_{1})\approx2{,}1353352832.
Vamos aplicar a fórmula da secante iterativamente. Iremos calcular x_{2},x_{3},\dots até a condição de parada ser satisfeita ou até 6 iterações.

Passo 5

Cálculo de x_{2} (primeira iteração):
x_{2}=x_{1}-h(x_{1})\frac{x_{1}-x_{0}}{h(x_{1})-h(x_{0})} =2-\;2{,}1353352832\frac{2-1}{2{,}1353352832-(-0{,}6321205588)}.
Denominador: 2{,}1353352832-(-0{,}6321205588)=2{,}7674558420.
Portanto
x_{2}\approx2-\frac{2{,}1353352832}{2{,}7674558420}\approx2-0{,}7716049383\approx1{,}2283950617.
Calculemos h(x_{2}) (usaremos aproximações decimais suficientes):
h(1{,}2283950617)=e^{-1{,}2283950617}+(1{,}2283950617)^{2}-2\approx0{,}292623\;+\;1{,}508954\;-\;2\approx-0{,}198333.

Passo 6

Cálculo de x_{3} (segunda iteração), usando x_{1}=2 e x_{2}:
x_{3}=x_{2}-h(x_{2})\frac{x_{2}-x_{1}}{h(x_{2})-h(x_{1})}.
Substituindo valores:
x_{3}\approx1{,}2283950617-\;(-0{,}198333)\frac{1{,}2283950617-2}{-0{,}198333-2{,}1353352832}.
Calculemos passo a passo:
x_{2}-x_{1}= -0{,}7716049383,
h(x_{2})-h(x_{1})\approx -0{,}198333-2{,}1353352832\approx-2{,}3336682832,
\text{produto }h(x_{2})(x_{2}-x_{1})\approx(-0{,}198333)(-0{,}7716049383)\approx0{,}15296,
\text{razão}\approx\frac{0{,}15296}{-2{,}3336682832}\approx-0{,}065565.ã
Logo
x_{3}\approx1{,}2283950617-(-0{,}065565)\approx1{,}2939600617.
E o valor da função
h(1{,}2939600617)\approx e^{-1{,}2939600617}+(1{,}2939600617)^{2}-2\approx-0{,}05177.

Passo 7

Cálculo de x_{4} (terceira iteração), usando x_{2} e x_{3}:
x_{4}=x_{3}-h(x_{3})\frac{x_{3}-x_{2}}{h(x_{3})-h(x_{2})}.
Substituindo:
x_{3}-x_{2}\approx0{,}065565,
h(x_{3})-h(x_{2})\approx -0{,}05177-(-0{,}198333)=0{,}146563,
h(x_{3})(x_{3}-x_{2})\approx(-0{,}05177)(0{,}065565)\approx-0{,}003394.
Razão:
\frac{-0{,}003394}{0{,}146563}\approx-0{,}02317.
Assim
x_{4}\approx1{,}2939600617-(-0{,}02317)\approx1{,}3171300617.
Avaliação da função:
h(1{,}3171300617)\approx e^{-1{,}3171300617}+(1{,}3171300617)^{2}-2\approx0{,}00273.
Agora notamos que h(x_{3})<0 e h(x_{4})>0, ou seja, a raiz está entre x_{3} e x_{4}.

Passo 8

Cálculo de x_{5} (quarta iteração), usando x_{3} e x_{4}:
x_{5}=x_{4}-h(x_{4})\frac{x_{4}-x_{3}}{h(x_{4})-h(x_{3})}.
Substituindo:
x_{4}-x_{3}\approx0{,}02317,
h(x_{4})-h(x_{3})\approx0{,}00273-(-0{,}05177)=0{,}05450,
h(x_{4})(x_{4}-x_{3})\approx0{,}00273\cdot0{,}02317\approx0{,}0000633,
\text{razão}\approx\frac{0{,}0000633}{0{,}05450}\approx0{,}001161.ã
Portanto
x_{5}\approx1{,}3171300617-0{,}001161\approx1{,}3159690617.
Diferença entre iterações:
|x_{5}-x_{4}|\approx0{,}001161>5\times10^{-4},
ainda não satisfaz a tolerância. Avaliando a função:
h(1{,}3159690617)\approx e^{-1{,}3159690617}+(1{,}3159690617)^{2}-2\approx0{,}000184.

Passo 9

Cálculo de x_{6} (quinta iteração), usando x_{4} e x_{5}:
x_{6}=x_{5}-h(x_{5})\frac{x_{5}-x_{4}}{h(x_{5})-h(x_{4})}.
Substituindo:
x_{5}-x_{4}\approx-0{,}001161,
h(x_{5})-h(x_{4})\approx0{,}000184-0{,}00273\approx-0{,}002546,
h(x_{5})(x_{5}-x_{4})\approx0{,}000184\cdot(-0{,}001161)\approx-2{,}14\times10^{-7},
\text{razão}\approx\frac{-2{,}14\times10^{-7}}{-0{,}002546}\approx8{,}41\times10^{-5}.ã
Logo
x_{6}\approx1{,}3159690617-8{,}41\times10^{-5}\approx1{,}3158849516.
Diferença entre iterações:
|x_{6}-x_{5}|\approx8{,}41\times10^{-5}<5\times10^{-4},
portanto a condição de parada foi satisfeita aqui (antes de completar 6 iterações). Podemos aceitar x_{6} como aproximação da raiz.

Passo 10

Resumo das iterações numéricas principais (aproximações relevantes):
x_{0}=1{,}0000000000,\quad h(x_{0})\approx-0{,}6321205588,
x_{1}=2{,}0000000000,\quad h(x_{1})\approx2{,}1353352832,
x_{2}\approx1{,}2283950617,\quad h(x_{2})\approx-0{,}198333,
x_{3}\approx1{,}2939600617,\quad h(x_{3})\approx-0{,}05177,
x_{4}\approx1{,}3171300617,\quad h(x_{4})\approx0{,}00273,
x_{5}\approx1{,}3159690617,\quad h(x_{5})\approx0{,}000184,
x_{6}\approx1{,}3158849516,\quad |x_{6}-x_{5}|\approx8{,}41\times10^{-5}<5\times10^{-4}.
Como a tolerância foi satisfeita em x_{6}, paramos aí. A aproximação final da raiz é x\approx1{,}3158849516.

Resposta

(a) x_{0}=1 e x_{1}=2, pois h(1)\approx-0{,}6321205588<0 e h(2)\approx2{,}1353352832>0, logo há uma raiz em (1,2).
(b) Aproximação pelo método da Secante: x\approx1{,}3158849516 (condição |x_{6}-x_{5}|<5\times10^{-4} satisfeita na iteração que produz x_{6}).

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