Questão 4 ( 2,0 pontos) - Método da Secante
Considere:
(a) Justifique a escolha de pontos iniciais
e
no intervalo
com base no sinal da função.
(b) Aplique o método da Secante por até 6 iterações ou até que:
(b) Aplique o método da Secante por até 6 iterações ou até que:
Passo 1
Enunciado e dados relevantes que temos: a função é
O exercício pede duas coisas:
- (a) Justificar a escolha de pontos iniciais
e no intervalo com base no sinal da função. - (b) Aplicar o método da Secante por até 6 iterações ou até que
Informações importantes fornecidas: o intervalo
e a tolerância
. Não há outras condições adicionais.
Passo 2
Escolha dos pontos iniciais com base no sinal de
. Vamos avaliar
em alguns pontos do intervalo
para encontrar pontos com sinais opostos (isso garante que exista pelo menos uma raiz entre eles, pelo teorema do valor intermediário).
Calculemos:
Calculemos:
Observações que justificam a escolha:
é negativo e
é positivo, portanto existe pelo menos uma raiz em
. Por isso é uma escolha natural e eficiente tomar
Passo 3
Apresentação do método da Secante (fórmula e interpretação). O método da Secante gera aproximações da raiz usando a reta que passa por
e
. A fórmula de iteração é
Interpretação das variáveis:
e
são as duas aproximações mais recentes;
e
são os valores da função nesses pontos. O quociente
é a inversa da inclinação da secante; multiplicando por
obtemos o deslocamento a ser subtraído de
para obter a nova aproximação
.
Passo 4
Preparação numérica inicial (relembrando valores já calculados):
Vamos aplicar a fórmula da secante iterativamente. Iremos calcular
até a condição de parada ser satisfeita ou até 6 iterações.
Passo 5
Cálculo de
(primeira iteração):
Denominador:
.
Portanto
Portanto
Calculemos
(usaremos aproximações decimais suficientes):
Passo 6
Cálculo de
(segunda iteração), usando
e
:
Substituindo valores:
Calculemos passo a passo:
Logo
E o valor da função
Passo 7
Cálculo de
(terceira iteração), usando
e
:
Substituindo:
Razão:
Assim
Avaliação da função:
Agora notamos que
e
, ou seja, a raiz está entre
e
.
Passo 8
Cálculo de
(quarta iteração), usando
e
:
Substituindo:
Portanto
Diferença entre iterações:
ainda não satisfaz a tolerância. Avaliando a função:
Passo 9
Cálculo de
(quinta iteração), usando
e
:
Substituindo:
Logo
Diferença entre iterações:
portanto a condição de parada foi satisfeita aqui (antes de completar 6 iterações). Podemos aceitar
como aproximação da raiz.
Passo 10
Resumo das iterações numéricas principais (aproximações relevantes):
Como a tolerância foi satisfeita em
, paramos aí. A aproximação final da raiz é
.
Resposta
(a)
e
, pois
e
, logo há uma raiz em
.
(b) Aproximação pelo método da Secante: (condição
satisfeita na iteração que produz
).
(b) Aproximação pelo método da Secante: