Questão Bônus (1,0 ponto) - Método da Bissecção
Considere:
(a) Mostre que a equação
possui exatamente uma raiz em
.
(b) Determine o número mínimo de iterações necessárias para garantir
(c) Monte uma tabela com as 5 primeiras iterações, incluindo:
(d) Forneça uma aproximação da raiz com 4 casas decimais e o intervalo final que contém a raiz.
(b) Determine o número mínimo de iterações necessárias para garantir
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede quatro coisas:
- (a) Mostrar que a equação
possui exatamente uma raiz em . - (b) Determinar o número mínimo de iterações do método da bissecção necessárias para garantir
. - (c) Montar uma tabela com as 5 primeiras iterações contendo
. - (d) Fornecer uma aproximação da raiz com 4 casas decimais e o intervalo final que contém a raiz.
Informações relevantes dadas:
Passo 2
(a) Existência de pelo menos uma raiz em
— Teorema do Valor Intermediário (TVI).
- Primeiro, avalio
nas extremidades do intervalo:
- Como
e , e é um polinômio (logo contínuo em ), o TVI garante que existe pelo menos um ponto tal que .
Explicação do TVI (rápida, amigável): se uma função contínua toma sinais opostos em dois pontos, então ela cruza
entre esses pontos.
Passo 3
(a) Unicidade da raiz em
— uso da derivada para mostrar monotonicidade.
- Calculo a derivada:
- Para
temos , então para todo . Em temos e em temos . - Conclusão:
é estritamente decrescente em (derivada negativa em todo o intervalo aberto), então não pode ter duas raízes distintas em . Juntando com a existência pelo TVI, segue que existe exatamente uma raiz em .
Comentário didático: derivada negativa significa que a função cai quando
aumenta, então não pode voltar a cruzar o eixo
duas vezes dentro do intervalo.
Passo 4
Apresentação do método da bissecção e da fórmula de erro (aula curtinha e prática).
- O método da bissecção começa com um intervalo
em que e têm sinais opostos. Em cada iteração calcula-se o ponto médio
- Testa-se
. Se , a raiz está em , então define-se , . Caso contrário, a raiz está em e define-se , . - Após
iterações o comprimento do intervalo é
Preciso padronizar o índice com cuidado. Se tomarmos que na iteração
calculamos
a partir de
, então após
iterações (ou seja, após calcular
) o comprimento do intervalo que contém a raiz é
- O erro máximo para a aproximação pelo ponto médio
(isto é, a distância ao zero real ) satisfaz
Explicação:
está no centro do intervalo de comprimento
, então a distância máxima para a raiz é metade desse comprimento.
- No nosso caso
. Assim a fórmula do erro fica
Passo 5
(b) Determinar
mínimo tal que
.
- Usando a desigualdade do passo anterior:
- Invertendo:
- Tomando logaritmo na base 2:
- Como
deve ser inteiro, o menor inteiro que satisfaz é .
Verificação rápida: para
a desigualdade dá
. Para
temos
. Logo o número mínimo de iterações é
.
Passo 6
(c) Montagem da tabela das 5 primeiras iterações — calculo passo a passo e justificando a escolha do subintervalo em cada passo.
Começo com
.
Iteração
:
Como
e
, escolhemos o subintervalo
. Assim
.
O comprimento inicial .
O comprimento inicial
Iteração
:
Como
e
, escolhemos
. Logo
.
O comprimento .
O comprimento
Iteração
:
Como
e
, escolhemos
. Assim
.
O comprimento .
O comprimento
Iteração
:
Como
e
, escolhemos
. Assim
.
O comprimento .
O comprimento
Iteração
:
Como
e
, escolhemos o subintervalo
. O comprimento
.
Agora apresento a tabela solicitada (os valores
arredondados para muitos dígitos quando necessário, mas com exatidão representada sempre que fácil):
| k |
|
|
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|
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|---|---|---|---|---|---|
| 1 |
|
|
|
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| 2 |
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| 3 |
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| 4 |
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| 5 |
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|
Observação: em cada linha a escolha do próximo intervalo foi feita verificando o sinal de
e de
como explicado.
Passo 7
(d) Aproximação da raiz com 4 casas decimais e intervalo final (usar
iterações conforme (b)).
Já temos as primeiras 5 iterações. Vou continuar até a 9ª iteração (isto é, até
), mantendo a mesma regra de atualização.
Retomando do final do passo anterior: após
escolhemos
.
Iteração
:
Avalio exatamente:
Sinal negativo, logo o intervalo contendo a raiz passa a ser
.
Iteração
:
Sinal negativo, novo intervalo
.
Iteração
:
Sinal negativo (muito próximo de zero), novo intervalo
.
Iteração
:
Avaliação exata já feita:
Sinal positivo. Logo, após a 9ª iteração o intervalo que contém a raiz é
.
- A aproximação obtida pela bissecção após a 9ª iteração, tomando
, é
Arredondando para 4 casas decimais (arredondamento usual), obtemos
- O intervalo final que contém a raiz (após 9 iterações) é
Cheguei ao erro estimado compatível com (b):
.
Resposta
(a) A equação
tem exatamente uma raiz em
.
(b) Número mínimo de iterações:
.
(c) Tabela com as 5 primeiras iterações:
k | |
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1 | |
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2 | |
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3 | |
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4 | |
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5 | |
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k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
(d) Aproximação da raiz com 4 casas decimais:
.
Intervalo final que contém a raiz (após 9 iterações): .
Intervalo final que contém a raiz (após 9 iterações):