Questão Bônus (1,0 ponto) - Método da Bissecção

Considere:
f(x)=x^{3}-3 x+1 .
(a) Mostre que a equação f(x)=0 possui exatamente uma raiz em [0,1].
(b) Determine o número mínimo de iterações necessárias para garantir
\left|x_{n}-x^{*}\right| \leq 10^{-3} .
(c) Monte uma tabela com as 5 primeiras iterações, incluindo:
k, a_{k}, b_{k}, m_{k}, f\left(m_{k}\right), b_{k}-a_{k} .
(d) Forneça uma aproximação da raiz com 4 casas decimais e o intervalo final que contém a raiz.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-3x+1
e pede quatro coisas:
  1. (a) Mostrar que a equação f(x)=0 possui exatamente uma raiz em [0,1].
  2. (b) Determinar o número mínimo de iterações do método da bissecção necessárias para garantir \left|x_{n}-x^{*}\right|\le 10^{-3}.
  3. (c) Montar uma tabela com as 5 primeiras iterações contendo k,\;a_{k},\;b_{k},\;m_{k},\;f(m_{k}),\;b_{k}-a_{k}.
  4. (d) Fornecer uma aproximação da raiz com 4 casas decimais e o intervalo final que contém a raiz.
Informações relevantes dadas:
f(x)=x^{3}-3x+1,\qquad \text{intervalo inicial} \;[a_{1},b_{1}]=[0,1].

Passo 2

(a) Existência de pelo menos uma raiz em [0,1] — Teorema do Valor Intermediário (TVI).
  • Primeiro, avalio f nas extremidades do intervalo:
f(0)=0^{3}-3\cdot0+1=1,
f(1)=1^{3}-3\cdot1+1=1-3+1=-1.
  • Como f(0)=1>0 e f(1)=-1<0, e f é um polinômio (logo contínuo em [0,1]), o TVI garante que existe pelo menos um ponto x^{*}\in(0,1) tal que f(x^{*})=0.
Explicação do TVI (rápida, amigável): se uma função contínua toma sinais opostos em dois pontos, então ela cruza 0 entre esses pontos.

Passo 3

(a) Unicidade da raiz em [0,1] — uso da derivada para mostrar monotonicidade.
  • Calculo a derivada:
f'(x)=3x^{2}-3=3(x^{2}-1).
  • Para x\in(0,1) temos x^{2}-1<0, então f'(x)<0 para todo x\in(0,1). Em x=0 temos f'(0)=-3<0 e em x=1 temos f'(1)=0.
  • Conclusão: f é estritamente decrescente em (0,1) (derivada negativa em todo o intervalo aberto), então não pode ter duas raízes distintas em [0,1]. Juntando com a existência pelo TVI, segue que existe exatamente uma raiz em [0,1].
Comentário didático: derivada negativa significa que a função cai quando x aumenta, então não pode voltar a cruzar o eixo x duas vezes dentro do intervalo.

Passo 4

Apresentação do método da bissecção e da fórmula de erro (aula curtinha e prática).
  • O método da bissecção começa com um intervalo [a_1,b_1] em que f(a_1) e f(b_1) têm sinais opostos. Em cada iteração k calcula-se o ponto médio
m_{k}=\frac{a_{k}+b_{k}}{2}.
  • Testa-se f(m_{k}). Se f(a_{k})\cdot f(m_{k})\le 0, a raiz está em [a_{k},m_{k}], então define-se a_{k+1}=a_{k}, b_{k+1}=m_{k}. Caso contrário, a raiz está em [m_{k},b_{k}] e define-se a_{k+1}=m_{k}, b_{k+1}=b_{k}.
  • Após n iterações o comprimento do intervalo é
b_{n}-a_{n}=\frac{b_{1}-a_{1}}{2^{\,n-1}}?
Preciso padronizar o índice com cuidado. Se tomarmos que na iteração k calculamos m_k a partir de [a_k,b_k], então após n iterações (ou seja, após calcular m_1,m_2,\dots,m_n) o comprimento do intervalo que contém a raiz é
b_{n+1}-a_{n+1}=\frac{b_{1}-a_{1}}{2^{n}}.
  • O erro máximo para a aproximação pelo ponto médio x_{n}=m_{n} (isto é, a distância ao zero real x^{*}) satisfaz
\left|x_{n}-x^{*}\right|\le \frac{b_{n}-a_{n}}{2}=\frac{b_{1}-a_{1}}{2^{n+1}}.
Explicação: x_n está no centro do intervalo de comprimento (b_{1}-a_{1})/2^{n}, então a distância máxima para a raiz é metade desse comprimento.
  • No nosso caso b_{1}-a_{1}=1. Assim a fórmula do erro fica
\left|x_{n}-x^{*}\right|\le \frac{1}{2^{n+1}}.

Passo 5

(b) Determinar n mínimo tal que \left|x_{n}-x^{*}\right|\le 10^{-3}.
  • Usando a desigualdade do passo anterior:
\frac{1}{2^{n+1}}\le 10^{-3}.
  • Invertendo:
2^{n+1}\ge 10^{3}=1000.
  • Tomando logaritmo na base 2:
n+1\ge \log_{2}(1000)\approx 9{,}96578\ldots
n\ge 8{,}96578\ldots
  • Como n deve ser inteiro, o menor inteiro que satisfaz é n=9.
Verificação rápida: para n=9 a desigualdade dá \dfrac{1}{2^{10}}=\dfrac{1}{1024}\approx 9{,}7656\times10^{-4}\le 10^{-3}. Para n=8 temos \dfrac{1}{2^{9}}=\dfrac{1}{512}\approx 1{,}9531\times10^{-3}>10^{-3}. Logo o número mínimo de iterações é n=9.

Passo 6

(c) Montagem da tabela das 5 primeiras iterações — calculo passo a passo e justificando a escolha do subintervalo em cada passo.
Começo com [a_{1},b_{1}]=[0,1].
Iteração k=1:
m_{1}=\frac{0+1}{2}=0{,}5.
f(0{,}5)=0{,}5^{3}-3(0{,}5)+1=0{,}125-1{,}5+1=-0{,}375.
Como f(0)=1>0 e f(0{,}5)=-0{,}375<0, escolhemos o subintervalo [0,0{,}5]. Assim a_{2}=0,\;b_{2}=0{,}5.
O comprimento inicial b_{1}-a_{1}=1.
Iteração k=2:
m_{2}=\frac{0+0{,}5}{2}=0{,}25.
f(0{,}25)=0{,}25^{3}-3(0{,}25)+1=0{,}015625-0{,}75+1=0{,}265625.
Como f(0{,}25)>0 e f(0{,}5)<0, escolhemos [0{,}25,0{,}5]. Logo a_{3}=0{,}25,\;b_{3}=0{,}5.
O comprimento b_{2}-a_{2}=0{,}5.
Iteração k=3:
m_{3}=\frac{0{,}25+0{,}5}{2}=0{,}375.
f(0{,}375)=0{,}375^{3}-3(0{,}375)+1=0{,}052734375-1{,}125+1=-0{,}072265625.
Como f(0{,}25)>0 e f(0{,}375)<0, escolhemos [0{,}25,0{,}375]. Assim a_{4}=0{,}25,\;b_{4}=0{,}375.
O comprimento b_{3}-a_{3}=0{,}25.
Iteração k=4:
m_{4}=\frac{0{,}25+0{,}375}{2}=0{,}3125.
f(0{,}3125)=0{,}3125^{3}-3(0{,}3125)+1=0{,}030517578125-0{,}9375+1=0{,}093017578125.
Como f(0{,}3125)>0 e f(0{,}375)<0, escolhemos [0{,}3125,0{,}375]. Assim a_{5}=0{,}3125,\;b_{5}=0{,}375.
O comprimento b_{4}-a_{4}=0{,}125.
Iteração k=5:
m_{5}=\frac{0{,}3125+0{,}375}{2}=0{,}34375.
f(0{,}34375)=0{,}34375^{3}-3(0{,}34375)+1=0{,}04058837890625-1{,}03125+1=0{,}00933837890625.
Como f(0{,}34375)>0 e f(0{,}375)<0, escolhemos o subintervalo [0{,}34375,0{,}375]. O comprimento b_{5}-a_{5}=0{,}0625.
Agora apresento a tabela solicitada (os valores f(m_k) arredondados para muitos dígitos quando necessário, mas com exatidão representada sempre que fácil):
k a_{k} b_{k} m_{k} f(m_{k}) b_{k}-a_{k}
1 0 1 0{,}5 -0{,}375 1
2 0 0{,}5 0{,}25 0{,}265625 0{,}5
3 0{,}25 0{,}5 0{,}375 -0{,}072265625 0{,}25
4 0{,}25 0{,}375 0{,}3125 0{,}093017578125 0{,}125
5 0{,}3125 0{,}375 0{,}34375 0{,}00933837890625 0{,}0625
Observação: em cada linha a escolha do próximo intervalo foi feita verificando o sinal de f(a_k) e de f(m_k) como explicado.

Passo 7

(d) Aproximação da raiz com 4 casas decimais e intervalo final (usar n=9 iterações conforme (b)).
Já temos as primeiras 5 iterações. Vou continuar até a 9ª iteração (isto é, até m_{9}), mantendo a mesma regra de atualização.
Retomando do final do passo anterior: após k=5 escolhemos [a_{6},b_{6}]=[0{,}34375,0{,}375].
Iteração k=6:
m_{6}=\frac{0{,}34375+0{,}375}{2}=0{,}359375=\frac{23}{64}.
Avalio exatamente:
f\left(\tfrac{23}{64}\right)=\frac{12167}{262144}-\frac{69}{64}+1=-\frac{8313}{262144}\approx -0{,}031716.
Sinal negativo, logo o intervalo contendo a raiz passa a ser [0{,}34375,0{,}359375].
Iteração k=7:
m_{7}=\frac{0{,}34375+0{,}359375}{2}=0{,}3515625=\frac{45}{128}.
f\left(\tfrac{45}{128}\right)=-\frac{23563}{2097152}\approx -0{,}01124.
Sinal negativo, novo intervalo [0{,}34375,0{,}3515625].
Iteração k=8:
m_{8}=\frac{0{,}34375+0{,}3515625}{2}=0{,}34765625=\frac{89}{256}.
f\left(\tfrac{89}{256}\right)=-\frac{15927}{16777216}\approx -0{,}0009499.
Sinal negativo (muito próximo de zero), novo intervalo [0{,}34375,0{,}34765625].
Iteração k=9:
m_{9}=\frac{0{,}34375+0{,}34765625}{2}=0{,}345703125=\frac{177}{512}.
Avaliação exata já feita:
f\left(\tfrac{177}{512}\right)=\frac{564497}{134217728}\approx 0{,}004203.
Sinal positivo. Logo, após a 9ª iteração o intervalo que contém a raiz é [0{,}345703125,\,0{,}34765625].
  • A aproximação obtida pela bissecção após a 9ª iteração, tomando x_{9}=m_{9}, é
x_{9}=0{,}345703125.
Arredondando para 4 casas decimais (arredondamento usual), obtemos
x_{9}\approx 0{,}3457.
  • O intervalo final que contém a raiz (após 9 iterações) é
\left[0{,}345703125,\;0{,}34765625\right].
Cheguei ao erro estimado compatível com (b): \left|x_{9}-x^{*}\right|\le \dfrac{1}{2^{10}}=\dfrac{1}{1024}\approx 9{,}7656\times10^{-4}\le 10^{-3}.

Resposta

(a) A equação f(x)=0 tem exatamente uma raiz em [0,1].
(b) Número mínimo de iterações: n=9.
(c) Tabela com as 5 primeiras iterações:
k | a_{k} | b_{k} | m_{k} | f(m_{k}) | b_{k}-a_{k}
1 | 0 | 1 | 0{,}5 | -0{,}375 | 1
2 | 0 | 0{,}5 | 0{,}25 | 0{,}265625 | 0{,}5
3 | 0{,}25 | 0{,}5 | 0{,}375 | -0{,}072265625 | 0{,}25
4 | 0{,}25 | 0{,}375 | 0{,}3125 | 0{,}093017578125 | 0{,}125
5 | 0{,}3125 | 0{,}375 | 0{,}34375 | 0{,}00933837890625 | 0{,}0625
(d) Aproximação da raiz com 4 casas decimais: x_{9}\approx 0{,}3457.
Intervalo final que contém a raiz (após 9 iterações): \left[0{,}345703125,\;0{,}34765625\right].

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