Questão 3 ( 2,0 pontos) - Newton-Raphson e Convergência Quadrática
Considere a equação:
(a) Mostre que existe exatamente uma raiz no intervalo
.
(b) Escolha um valor inicial
justificando analiticamente.
(c) Aplique o Método de Newton até obter precisão
.
(d) Verifique se houve convergência quadrática calculando:
(b) Escolha um valor inicial
(c) Aplique o Método de Newton até obter precisão
(d) Verifique se houve convergência quadrática calculando:
Passo 1
Enunciado e o que é pedido (resumindo e com todas as informações dadas):
As perguntas são:
(a) Mostrar que existe exatamente uma raiz no intervalo .
(b) Escolher um valor inicial justificando analiticamente.
(c) Aplicar o Método de Newton até obter precisão .
(d) Verificar se houve convergência quadrática calculando
(a) Mostrar que existe exatamente uma raiz no intervalo
(b) Escolher um valor inicial
(c) Aplicar o Método de Newton até obter precisão
(d) Verificar se houve convergência quadrática calculando
Informações importantes dadas pelo enunciado (que vamos usar): a expressão explícita de
e a precisão desejada
.
Passo 2
Análise do sinal e monotonicidade em
— isto é, uso direto das informações do enunciado para ver se há raiz em
.
- Valores nos extremos:
Portanto,
e
.
- Derivada para monotonicidade:
Para todo
temos
e
, então
ou seja,
é estritamente crescente em
.
- Conclusão em (a): como
é estritamente crescente e assume valores negativos em ambos os extremos do intervalo , isso implica que para todo . Logo NÃO existe nenhuma raiz em . Portanto a afirmação “existe exatamente uma raiz em ” é falsa: não há raiz nesse intervalo.
Comentário útil: embora o enunciado peça (a) para
, a própria análise mostra que o zero não está aí. Podemos, no entanto, localizar onde de fato existe uma raiz: calculemos
. Como
e
e
em
, existe exatamente uma raiz em
. A partir daqui vou seguir resolvendo (b)-(d) considerando essa raiz única em
, porque é o caso que faz sentido numericamente (provável correção do enunciado).
Passo 3
Escolha do valor inicial
e justificativa analítica (resposta de (b)).
- Já vimos que
e , logo a raiz está em . Para Newton é prático escolher dentro do intervalo onde a raiz está e onde não é zero. Como em , qualquer é admissível do ponto de vista de derivada não nula. - Uma escolha simples e conveniente é
. Justificativa: está relativamente perto da raiz (já que testamos sinal em e viu-se que é pequeno), e é grande o suficiente (não próxima de zero), o que favorece convergência rápida do método de Newton.
Vou usar
nas iterações a seguir.
Passo 4
Breve aula prática sobre o Método de Newton (para usar na prova): fórmula, o que cada termo significa, e critério de parada usado aqui.
- Fórmula do Método de Newton (ou Newton–Raphson):
Aqui
é a aproximação atual,
é o valor da função no ponto,
é a derivada no ponto. A ideia: aproxima-se
por sua reta tangente e toma-se a interseção dessa reta com o eixo
.
- Condições que garantem boa convergência prática:
duas vezes diferenciável e no ponto raiz . Se estiver suficientemente próximo de , a convergência tende a ser quadrática. - Critério de parada (prático para prova): parar quando
(aproximação de precisão absoluta) ou quando tolerância. Aqui usarei como critério que garante, na prática, precisão do mesmo ordem para a raiz.
Passo 5
Aplicação do Método de Newton passo a passo (resolvendo (c)). Vou calcular explicitamente as duas iterações necessárias.
Dados úteis:
Iteração 0 -> 1:
Calcule
:
Numéricas (aproximações decimais usadas passo a passo):
Logo
Calcule
:
Aplicando Newton:
Iteração 1 -> 2:
Agora calculamos e
. Tomando
.
Agora calculamos
Aproximação de
e
(passo a passo):
E
. Usando expansão linear em torno de
:
Portanto
E
Atualização de Newton:
Verificação do critério de parada:
logo já alcançamos a precisão desejada após duas iterações (ou seja, a diferença entre iterações é menor que
). Assim a aproximação final da raiz é
Observação: o método convergiu muito rapidamente porque
já estava razoavelmente perto da raiz e
não é pequeno.
Passo 6
Verificação da convergência quadrática (resolvendo (d)).
Teoria curta que usamos: se Newton converge quadraticamente para
e
, então para
grande
Assim
Vamos estimar
usando as nossas aproximações e tomar
(boa aproximação da raiz). Definimos:
Agora
Calculemos numericamente:
logo
Agora o valor teórico
. Primeiro:
Avalie em
:
E já tínhamos
. Assim
Comparando
com
, vemos boa concordância (diferença pequena, esperada porque usamos aproximações numéricas e
aproximada). Isso confirma que a convergência observada é quadrática.
Resposta
(a) Não existe nenhuma raiz em
; análise:
,
e
em
, logo
no intervalo.
(b) Escolhi (justificativa: raiz está em
pois
,
e
;
fica próximo da raiz e
).
(c) Método de Newton convergiu em duas iterações até a tolerância ; aproximação da raiz:
.
(d) Calculando
(b) Escolhi
(c) Método de Newton convergiu em duas iterações até a tolerância
(d) Calculando
e o valor teórico
, mostrando que a convergência é quadrática.