- Questão 4 (2 pontos). Mostre que a equação abaixo não é exata. A seguir, encontre um fator integrante e resolva a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) mostrar que a equação diferencial
não é uma forma exata; (2) encontrar um fator integrante e, em seguida, resolver a equação diferencial (ou seja, obter a solução geral).
Informações dadas que vamos usar: a equação está escrita na forma com
e
diretamente visíveis a partir do enunciado.
Informações dadas que vamos usar: a equação está escrita na forma
Passo 2
Identificar
e
.
Por comparação com a forma temos:
Por comparação com a forma
Explicação (mini-aula): uma equação diferencial na forma
é exata se existe uma função
tal que
e
. Uma maneira prática de testar isso é comparar as derivadas parciais mistas: se
então a forma é exata (supondo as funções suficientemente suaves).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais e testar exatidão.
Derivando:
Derivando:
Como
em geral (ou seja,
não é igual a
), concluímos que a equação não é exata.
Passo 4
Procurar um fator integrante.
Mini-aula: um fator integrante é uma função (de
só, ou de
só, ou de combinação) que multiplicada por
transforma a forma em exata. Existem testes práticos: se
Mini-aula: um fator integrante
é função apenas de
, então existe um fator integrante dependente só de
dado por
. Alternativamente, se
é função apenas de
, então existe um fator integrante dependente só de
.
Passo 5
Aplicar o teste ao nosso caso. Calculamos
Observação didática: essa quantidade deu
, que é constante, portanto é uma função somente de
(na prática independe de
). Logo existe um fator integrante que depende apenas de
, dado por
Passo 6
Multiplicar a equação original pelo fator integrante e verificar exatidão.
Multiplicando por obtemos:
Multiplicando por
Agora as funções
e
renomeadas são
Calculemos as derivadas parciais:
Como
, a forma multiplicada por
é exata — ótimo!
Passo 7
Encontrar a função potencial
tal que
e
.
Integramos em relação a
:
Integramos
Aqui
é tratado como constante ao integrar em
, então
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 8
Determinar
usando
.
Calculemos :
Calculemos
Essa expressão deve ser igual a
. Comparando,
Portanto
é constante, digamos
. Assim a função potencial é
Passo 9
Escrever a solução geral da equação diferencial.
Para uma forma exata a solução geral é . Podemos então escrever a solução implícita como
Para uma forma exata a solução geral é
onde
é uma constante arbitrária (absorvendo o
). Se quisermos uma expressão explícita para
(quando permitido pelo domínio), podemos escrever
lembrando que isso exige
para ser válido.
Resposta
A equação não é exata; um fator integrante é
; a solução geral implícita é
.