• Questão 4 (2 pontos). Mostre que a equação abaixo não é exata. A seguir, encontre um fator integrante e resolva a equação diferencial.
2 \cos (y) d x-\sin (y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) mostrar que a equação diferencial
2\cos(y)\,dx - \sin(y)\,dy = 0
não é uma forma exata; (2) encontrar um fator integrante e, em seguida, resolver a equação diferencial (ou seja, obter a solução geral).
Informações dadas que vamos usar: a equação está escrita na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 com M e N diretamente visíveis a partir do enunciado.

Passo 2

Identificar M e N.
Por comparação com a forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 temos:
M(x,y) = 2\cos(y),
N(x,y) = -\sin(y).
Explicação (mini-aula): uma equação diferencial na forma M\,dx+N\,dy=0 é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que \partial \Phi/\partial x = M e \partial \Phi/\partial y = N. Uma maneira prática de testar isso é comparar as derivadas parciais mistas: se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}
então a forma é exata (supondo as funções suficientemente suaves).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais e testar exatidão.
Derivando:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(2\cos(y)\big) = -2\sin(y),
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(-\sin(y)\big) = 0.
Como
-2\sin(y) \neq 0
em geral (ou seja, \frac{\partial M}{\partial y} não é igual a \frac{\partial N}{\partial x}), concluímos que a equação não é exata.

Passo 4

Procurar um fator integrante.
Mini-aula: um fator integrante \mu é uma função (de x só, ou de y só, ou de combinação) que multiplicada por M\,dx+N\,dy transforma a forma em exata. Existem testes práticos: se
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}
é função apenas de x, então existe um fator integrante dependente só de x dado por \mu(x)=\exp\!\big(\int \text{essa função}\,dx\big)çã. Alternativamente, se
\frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M}
é função apenas de y, então existe um fator integrante dependente só de y.

Passo 5

Aplicar o teste ao nosso caso. Calculamos
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N} = \frac{-2\sin(y) - 0}{-\sin(y)} = \frac{-2\sin(y)}{-\sin(y)} = 2.
Observação didática: essa quantidade deu 2, que é constante, portanto é uma função somente de x (na prática independe de x). Logo existe um fator integrante que depende apenas de x, dado por
\mu(x) = \exp\!\bigg(\int 2\,dx\bigg) = \exp(2x) = e^{2x}.

Passo 6

Multiplicar a equação original pelo fator integrante e verificar exatidão.
Multiplicando por \mu(x)=e^{2x} obtemos:
2e^{2x}\cos(y)\,dx - e^{2x}\sin(y)\,dy = 0.
Agora as funções M e N renomeadas são
\tilde{M}(x,y) = 2e^{2x}\cos(y),
\tilde{N}(x,y) = -e^{2x}\sin(y).
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial \tilde{M}}{\partial y} = 2e^{2x}(-\sin(y)) = -2e^{2x}\sin(y),
\frac{\partial \tilde{N}}{\partial x} = -\big(2e^{2x}\big)\sin(y) = -2e^{2x}\sin(y).
Como \partial \tilde{M}/\partial y = \partial \tilde{N}/\partial x, a forma multiplicada por \mu é exata — ótimo!

Passo 7

Encontrar a função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x=\tilde{M} e \Phi_y=\tilde{N}.
Integramos \tilde{M} em relação a x:
\Phi(x,y) = \int \tilde{M}(x,y)\,dx = \int 2e^{2x}\cos(y)\,dx.
Aqui \cos(y) é tratado como constante ao integrar em x, então
\Phi(x,y) = \cos(y)\int 2e^{2x}\,dx = \cos(y)\,e^{2x} + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 8

Determinar h(y) usando \Phi_y = \tilde{N}.
Calculemos \Phi_y:
\Phi_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\big(e^{2x}\cos(y) + h(y)\big) = -e^{2x}\sin(y) + h'(y).
Essa expressão deve ser igual a \tilde{N}(x,y) = -e^{2x}\sin(y). Comparando,
-e^{2x}\sin(y) + h'(y) = -e^{2x}\sin(y) \quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Portanto h(y) é constante, digamos C. Assim a função potencial é
\Phi(x,y) = e^{2x}\cos(y) + C.

Passo 9

Escrever a solução geral da equação diferencial.
Para uma forma exata a solução geral é \Phi(x,y)=\text{constante}. Podemos então escrever a solução implícita como
e^{2x}\cos(y) = K,
onde K é uma constante arbitrária (absorvendo o C). Se quisermos uma expressão explícita para y (quando permitido pelo domínio), podemos escrever
y(x) = \operatorname{arccos}\!\big(K e^{-2x}\big),
lembrando que isso exige |K e^{-2x}|\le 1 para ser válido.

Resposta

A equação não é exata; um fator integrante é \mu(x)=e^{2x}; a solução geral implícita é \displaystyle e^{2x}\cos(y)=K.

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