• Questão 2 (2 pontos). Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:
y^{\prime}=A y-B y^{2}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
y' = A\,y - B\,y^{2}
Esse é um caso clássico de EDO separável (equação logística). Para resolver, vamos:
  1. Isolar as variáveis y e x.
  2. Usar frações parciais para integrar \displaystyle\int \frac{dy}{y\,(A - B\,y)}.
  3. Exponenciar e isolar y.

Passo 2

Começamos separando as variáveis. Escrevemos
\frac{dy}{dx} = A\,y - B\,y^{2} \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{dy}{y\,(A - B\,y)} = dx.

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais:
\frac{1}{y\,(A - B\,y)} = \frac{\alpha}{y} + \frac{\beta}{A - B\,y}.
Igualando numeradores:
1 = \alpha\,(A - B\,y) + \beta\,y = \alpha\,A + (\beta - \alpha\,B)\,y.
Comparando coeficientes em y\) e constantes: \[\begin{cases} \alpha\,A = 1,\\\ \beta - \alpha\,B = 0, \end{cases}
logo \displaystyle \alpha = \frac{1}{A}\] e \(\beta = \frac{B}{A}.
Portanto
\frac{1}{y\,(A - B\,y)} = \frac{1}{A}\,\frac{1}{y} + \frac{B}{A}\,\frac{1}{A - B\,y}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{y\,(A - B\,y)} = \int \Bigl(\frac{1}{A\,y} + \frac{B}{A\,(A - B\,y)}\Bigr) dy = \frac{1}{A}\ln|y| - \frac{1}{A}\ln|A - B\,y| + C_{1},
pois \displaystyle \int \frac{B}{A\,(A - B\,y)} dy = -\frac{1}{A}\ln|A - B\,y|.
Então
\frac{1}{A}\ln\Bigl|\frac{y}{A - B\,y}\Bigr| = x + C_{2},
com C_{2} constante nova.

Passo 5

Exponenciando e resolvendo para y:
\ln\Bigl|\frac{y}{A - B\,y}\Bigr| = A\,x + A\,C_{2} \;\Longrightarrow\; \frac{y}{A - B\,y} = C\,e^{A\,x},
onde C = \pm e^{A\,C_{2}}.
Agora isolamos y:
y = C\,e^{A\,x}\,(A - B\,y) = A\,C\,e^{A\,x} - B\,C\,e^{A\,x}\,y \;\Longrightarrow\; y\bigl(1 + B\,C\,e^{A\,x}\bigr) = A\,C\,e^{A\,x},
y(x) = \frac{A\,C\,e^{A\,x}}{1 + B\,C\,e^{A\,x}} = \frac{A}{B + \dfrac{1}{C}\,e^{-A\,x}}.
Renomeando a constante \dfrac{1}{C}\to K, obtemos a forma final.

Resposta

y(x) = \frac{A}{B + K\,e^{-A\,x}},
onde K é constante arbitrária de integração.

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