- Questão 2 (2 pontos). Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
Esse é um caso clássico de EDO separável (equação logística). Para resolver, vamos:
- Isolar as variáveis
e . - Usar frações parciais para integrar
. - Exponenciar e isolar
.
Passo 2
Começamos separando as variáveis. Escrevemos
Passo 3
Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais:
Igualando numeradores:
Comparando coeficientes em
logo
Portanto
Passo 4
Integramos ambos os lados:
pois
Então
Então
com
constante nova.
Passo 5
Exponenciando e resolvendo para
:
onde
.
Agora isolamos :
Agora isolamos
Renomeando a constante
, obtemos a forma final.
Resposta
onde
é constante arbitrária de integração.