Questão 5 - (2 pontos)
Mostre que o limite não existe:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o seguinte limite não existe:
Informações dadas:
- A função considerada é
definida para . - O ponto de interesse é
. - A tarefa é demonstrar que não existe um número
tal que se aproxime de quando tende a .
Passo 2
Entendimento do que significa “limite não existe” em
e estratégia prática:
- Definição intuitiva: dizer que
significa que, qualquer que seja a maneira como se aproxima de , os valores de tendem ao mesmo número . - Forma prática de provar que o limite NÃO existe: encontrar duas curvas (caminhos) que se aproximam de
e tais que os limites de ao longo desses caminhos sejam diferentes. Se existirem dois caminhos com limites distintos, não pode haver um único comum a todos os caminhos, logo o limite total não existe. - Vou aplicar essa técnica simples e muito usada em provas: escolher caminhos fáceis como retas
ou eixos.
Passo 3
Primeiro caminho: aproximar por
.
- Substituir
em :
- Portanto, ao seguir o caminho
e , o valor de é sempre , logo
Passo 4
Segundo caminho: aproximar por
.
- Substituir
em :
- Assim, ao seguir o caminho
e , o valor de é sempre , portanto
Passo 5
Conclusão direta a partir dos dois caminhos:
- Pelo Passo 3 temos limite igual a
ao longo de . - Pelo Passo 4 temos limite igual a
ao longo de . - Esses dois números são diferentes, logo não existe um único
que seja o limite quando . - Formalizando: se existisse
tal que , então tanto as subsequências ao longo de quanto as ao longo de deviam tender a ; mas uma tende a e a outra a , contradição. Portanto o limite não existe.
Passo 6
Método alternativo (e didático): usar coordenadas polares para ver a dependência angular
- Fazer
e . Então, para ,
- Note que
depende de mas não de . Ao fazer (ou seja ), o valor da função tende a , que muda conforme a direção escolhida. Por exemplo: -
dá . -
dá .
-
- Como o limite depende do ângulo de aproximação, não existe limite único quando
.
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (ânimo!):
- Quando a expressão é homogênea (numerador e denominador com mesmo grau em
), coordenadas polares costumam ser rápidas e reveladoras. - Sempre que encontrar valores diferentes em caminhos simples (eixos, retas
, curvas polares), já pode declarar que o limite não existe. - Respira fundo: essa é uma das questões clássicas e a solução por caminhos é direta — basta achar duas aproximações com limites distintos.
Resposta
O limite não existe.