Questão 5 - (2 pontos)

Mostre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o seguinte limite não existe:
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{x y}{x^{2}+y^{2}} definida para (x,y)\neq(0,0).
  • O ponto de interesse é (0,0).
  • A tarefa é demonstrar que não existe um número L tal que f(x,y) se aproxime de L quando (x,y) tende a (0,0).

Passo 2

Entendimento do que significa “limite não existe” em \mathbb{R}^2 e estratégia prática:
  • Definição intuitiva: dizer que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L significa que, qualquer que seja a maneira como (x,y) se aproxima de (0,0), os valores de f(x,y) tendem ao mesmo número L.
  • Forma prática de provar que o limite NÃO existe: encontrar duas curvas (caminhos) que se aproximam de (0,0) e tais que os limites de f ao longo desses caminhos sejam diferentes. Se existirem dois caminhos com limites distintos, não pode haver um único L comum a todos os caminhos, logo o limite total não existe.
  • Vou aplicar essa técnica simples e muito usada em provas: escolher caminhos fáceis como retas y=mx ou eixos.

Passo 3

Primeiro caminho: aproximar por y=0.
  • Substituir y=0 em f(x,y):
f(x,0)=\frac{x\cdot 0}{x^{2}+0^{2}}=0\quad\text{para }x\neq 0.
  • Portanto, ao seguir o caminho y=0 e (x,0)\to(0,0), o valor de f é sempre 0, logo
\lim_{x\to 0} f(x,0)=0.

Passo 4

Segundo caminho: aproximar por y=x.
  • Substituir y=x em f(x,y):
f(x,x)=\frac{x\cdot x}{x^{2}+x^{2}}=\frac{x^{2}}{2x^{2}}=\frac{1}{2}\quad\text{para }x\neq 0.
  • Assim, ao seguir o caminho y=x e (x,x)\to(0,0), o valor de f é sempre \tfrac{1}{2}, portanto
\lim_{x\to 0} f(x,x)=\frac{1}{2}.

Passo 5

Conclusão direta a partir dos dois caminhos:
  • Pelo Passo 3 temos limite igual a 0 ao longo de y=0.
  • Pelo Passo 4 temos limite igual a \tfrac{1}{2} ao longo de y=x.
  • Esses dois números são diferentes, logo não existe um único L que seja o limite quando (x,y)\to(0,0).
  • Formalizando: se existisse L tal que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L, então tanto as subsequências ao longo de y=0 quanto as ao longo de y=x deviam tender a L; mas uma tende a 0 e a outra a \tfrac{1}{2}, contradição. Portanto o limite não existe.

Passo 6

Método alternativo (e didático): usar coordenadas polares para ver a dependência angular
  • Fazer x=r\cos\theta e y=r\sin\theta. Então, para r>0,
\frac{x y}{x^{2}+y^{2}} =\frac{(r\cos\theta)(r\sin\theta)}{r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta} =\frac{r^{2}\cos\theta\sin\theta}{r^{2}} =\cos\theta\sin\theta.
  • Note que \cos\theta\sin\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta) depende de \theta mas não de r. Ao fazer r\to 0 (ou seja (x,y)\to(0,0)), o valor da função tende a \cos\theta\sin\theta, que muda conforme a direção \theta escolhida. Por exemplo:
    • \theta=0 \cos\theta\sin\theta=0.
    • \theta=\tfrac{\pi}{4} \cos\theta\sin\theta=\tfrac{1}{2}.
  • Como o limite depende do ângulo de aproximação, não existe limite único quando r\to 0.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (ânimo!):
  • Quando a expressão é homogênea (numerador e denominador com mesmo grau em x,y), coordenadas polares costumam ser rápidas e reveladoras.
  • Sempre que encontrar valores diferentes em caminhos simples (eixos, retas y=mx, curvas polares), já pode declarar que o limite não existe.
  • Respira fundo: essa é uma das questões clássicas e a solução por caminhos é direta — basta achar duas aproximações com limites distintos.

Resposta

O limite não existe.

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