Os limites abaixo introduzem a noção de derivação. Calcule-os utilizando as regras até agora estudadas.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{5 x-1}{x}\right)^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5x-1}{x}\right)^{2x}.
Informações dadas diretamente do enunciado:
  • A expressão é \left(\dfrac{5x-1}{x}\right)^{2x}.
  • A variável tende para +\infty: x \to \infty.

Passo 2

Faço uma simplificação algébrica do interior para deixar a expressão mais legível:
\left(\frac{5x-1}{x}\right)^{2x} = \left(5-\frac{1}{x}\right)^{2x}.
Observação inicial (não conclusiva): a base \left(5-\dfrac{1}{x}\right) tende para 5 quando x\to\infty, e o expoente 2x tende para +\infty. Então a forma é parecida com 5^{+\infty}, que sugere divergência para infinito, mas é melhor fazer um raciocínio rigoroso.

Passo 3

Para tratar limites de potências com expoente que tende a infinito, é conveniente usar o logaritmo natural porque \exp é contínua e estritamente crescente. Defino
L=\left(5-\frac{1}{x}\right)^{2x}.
Então
\ln L = 2x\ln\!\left(5-\frac{1}{x}\right).
Se eu conseguir mostrar que \lim_{x\to\infty}\ln L = +\infty, então segue que \lim_{x\to\infty}L = \exp(+\infty)=+\infty.

Passo 4

Reescrevo \ln L separando um termo que diverge claramente:
\ln L = 2x\ln 5 + 2x\ln\!\left(1-\frac{1}{5x}\right),
pois \ln\!\left(5-\dfrac{1}{x}\right)=\ln 5 + \ln\!\left(1-\dfrac{1}{5x}\right).

Passo 5

Analiso cada parcela:
  • A primeira parcela 2x\ln 5. Como \ln 5>0 e x\to\infty, tem-se
\lim_{x\to\infty}2x\ln 5 = +\infty.
  • A segunda parcela 2x\ln\!\left(1-\dfrac{1}{5x}\right). Para avaliá-la uso a propriedade limite de \ln(1+t) quando t\to 0:
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
Aqui tomo t=-\dfrac{1}{5x}, então t\to 0 quando x\to\infty. Assim
\ln\!\left(1-\frac{1}{5x}\right)\sim -\frac{1}{5x}\quad\text{quando }x\to\infty,
o que implica
2x\ln\!\left(1-\frac{1}{5x}\right)\sim 2x\left(-\frac{1}{5x}\right) = -\frac{2}{5}.
Logo esta parcela tende para -\dfrac{2}{5}.

Passo 6

Combinando os resultados:
\ln L = 2x\ln 5 + \bigl(2x\ln(1-\tfrac{1}{5x})\bigr)
tem o comportamento
\ln L = 2x\ln 5 + \bigl(-\tfrac{2}{5}+o(1)\bigr),
onde o(1) tende a 0 quando x\to\infty. Como 2x\ln 5 \to +\infty, segue que
\lim_{x\to\infty}\ln L = +\infty.

Passo 7

Como \ln L \to +\infty e a função exponencial é contínua e crescente, concluímos
\lim_{x\to\infty} L = \lim_{x\to\infty} e^{\ln L} = e^{+\infty} = +\infty.
Intuição alternativa (equivalente): fatorando
\left(5-\frac{1}{x}\right)^{2x} = 5^{2x}\left(1-\frac{1}{5x}\right)^{2x},
o segundo fator tende para e^{-2/5} (não nulo), enquanto 5^{2x}\to+\infty; produto diverge para +\infty.

Resposta

+\infty

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