Os limites abaixo introduzem a noção de derivação. Calcule-os utilizando as regras até agora estudadas.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas diretamente do enunciado:
- A expressão é
. - A variável tende para
: .
Passo 2
Faço uma simplificação algébrica do interior para deixar a expressão mais legível:
Observação inicial (não conclusiva): a base
tende para
quando
, e o expoente
tende para
. Então a forma é parecida com
, que sugere divergência para infinito, mas é melhor fazer um raciocínio rigoroso.
Passo 3
Para tratar limites de potências com expoente que tende a infinito, é conveniente usar o logaritmo natural porque
é contínua e estritamente crescente. Defino
Então
Se eu conseguir mostrar que
, então segue que
.
Passo 4
Reescrevo
separando um termo que diverge claramente:
pois
.
Passo 5
Analiso cada parcela:
- A primeira parcela
. Como e , tem-se
- A segunda parcela
. Para avaliá-la uso a propriedade limite de quando :
Aqui tomo
, então
quando
. Assim
o que implica
Logo esta parcela tende para
.
Passo 6
Combinando os resultados:
tem o comportamento
onde
tende a
quando
. Como
, segue que
Passo 7
Como
e a função exponencial é contínua e crescente, concluímos
Intuição alternativa (equivalente): fatorando
o segundo fator tende para
(não nulo), enquanto
; produto diverge para
.