Calcule:
\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-\cos (2 x)}}{x}= \\\ & {\left[1-\cos (2 x)=2 \operatorname{sen}^{2}(x)\right]} \\\ & \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-\cos (2 x)}}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2 \operatorname{sen}^{2}(x)}}{x} \\\ & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left|\operatorname{sen}^{2}(x)\right| \cdot \sqrt{2}}{x} \end{aligned}
\begin{aligned} & \text { (3) } x \rightarrow 0^{+} \\\ & |\operatorname{sen}(x)|=\operatorname{sen}(x) \\\ & \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{\operatorname{sen}(x)}{x} \cdot \sqrt{2}\right)=\sqrt{2} \begin{array}{l} \text { (II) } x \rightarrow 0^{-} \\\ |\operatorname{sen}(x)|=-\operatorname{sen}(x) \\\ \lim _{x \rightarrow 0^{-}}\left(-\frac{\operatorname{sen}(x)}{x} \cdot \sqrt{2}\right)=\sqrt{2} \end{array} \end{aligned}
\begin{aligned} & \text { Como } \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x) \text {, entum } \\\ & f(x)=\frac{\sqrt{1-\cos (2 x)}}{x} \text { nów é limitada quondo } x \rightarrow 0 \end{aligned}óé

Passo 1

O que o problema pede: calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A identidade trigonométrica sugerida no enunciado: \,1-\cos(2x)=2\sin^{2}(x).
  • Conhecimento padrão que será necessário: \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
    Nada mais será assumido: vou relembrar e justificar a parte essencial dessa propriedade quando for usada.

Passo 2

Usando a identidade indicada, reescrevo o numerador:
1-\cos(2x)=2\sin^{2}(x).
Explicação curta dessa identidade: parte de \cos(2x)=1-2\sin^{2}(x), que é uma fórmula padrão de ângulo duplo para o cosseno; isolando obtemos 1-\cos(2x)=2\sin^{2}(x).

Passo 3

Substituindo na expressão do limite:
\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}=\frac{\sqrt{2\sin^{2}(x)}}{x}.
Agora uso a propriedade da raiz quadrada para produto de termos não negativos:
\sqrt{2\sin^{2}(x)}=\sqrt{2}\,\sqrt{\sin^{2}(x)}.
Lembrete importante: \sqrt{\sin^{2}(x)} é sempre o valor não negativo cujo quadrado é \sin^{2}(x), ou seja
\sqrt{\sin^{2}(x)}=|\sin x|.
Portanto a função pode ser escrita como
\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}=\sqrt{2}\,\frac{|\sin x|}{x}.

Passo 4

Observação sobre o valor absoluto: por causa do |\sin x| é preciso analisar os limites laterais (direita e esquerda) separadamente, porque |\sin x| muda a expressão quando \sin x é positivo ou negativo. Para x muito próximo de 0 valem:
  • se x>0 (próximo de zero pela direita) então \sin x>0 e |\sin x|=\sin x;
  • se x<0 (próximo de zero pela esquerda) então \sin x<0 e |\sin x|=-\sin x.
Vou calcular os dois limites unilaterais.

Passo 5

Limite pela direita ( x\to 0^{+}):
para x>0 pequeno temos |\sin x|=\sin x, então
\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}=\sqrt{2}\,\frac{\sin x}{x}.
Usamos a propriedade clássica (pode ser justificada pelo teorema do confronto: \cos x<\dfrac{\sin x}{x}<1 para 0<x<\tfrac{\pi}{2}, e \cos x\to 1 quando x\to 0):
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Assim
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}=\sqrt{2}\cdot 1=\sqrt{2}.

Passo 6

Limite pela esquerda ( x\to 0^{-}):
para x<0 pequeno temos |\sin x|=-\sin x, logo
\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}=\sqrt{2}\,\frac{-\sin x}{x}=-\sqrt{2}\,\frac{\sin x}{x}.
Novamente usando \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 (esse limite vale tanto por x\to 0^{+} quanto por x\to 0^{-}), obtemos
\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}=-\sqrt{2}\cdot 1=-\sqrt{2}.

Passo 7

Comparando as duas direções: a reta dá \sqrt{2} e a esquerda dá -\sqrt{2}. Como os limites laterais não coincidem, o limite bilateral não existe. Em palavras: a expressão tende para valores diferentes ao se aproximar de 0 pela direita e pela esquerda, portanto o limite quando x\to 0 não existe.

Resposta

O limite não existe; \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}=\sqrt{2} e \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}=-\sqrt{2}.

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