A identidade trigonométrica sugerida no enunciado: \,1-\cos(2x)=2\sin^{2}(x).
Conhecimento padrão que será necessário: \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Nada mais será assumido: vou relembrar e justificar a parte essencial dessa propriedade quando for usada.
Passo 2
Usando a identidade indicada, reescrevo o numerador:
1-\cos(2x)=2\sin^{2}(x).
Explicação curta dessa identidade: parte de \cos(2x)=1-2\sin^{2}(x), que é uma fórmula padrão de ângulo duplo para o cosseno; isolando obtemos 1-\cos(2x)=2\sin^{2}(x).
Observação sobre o valor absoluto: por causa do |\sin x| é preciso analisar os limites laterais (direita e esquerda) separadamente, porque |\sin x| muda a expressão quando \sin x é positivo ou negativo. Para x muito próximo de 0 valem:
se x>0 (próximo de zero pela direita) então \sin x>0 e |\sin x|=\sin x;
se x<0 (próximo de zero pela esquerda) então \sin x<0 e |\sin x|=-\sin x.
Vou calcular os dois limites unilaterais.
Passo 5
Limite pela direita (x\to 0^{+}):
para x>0 pequeno temos |\sin x|=\sin x, então
Usamos a propriedade clássica (pode ser justificada pelo teorema do confronto: \cos x<\dfrac{\sin x}{x}<1 para 0<x<\tfrac{\pi}{2}, e \cos x\to 1 quando x\to 0):
Comparando as duas direções: a reta dá \sqrt{2} e a esquerda dá -\sqrt{2}. Como os limites laterais não coincidem, o limite bilateral não existe. Em palavras: a expressão tende para valores diferentes ao se aproximar de 0 pela direita e pela esquerda, portanto o limite quando x\to 0 não existe.
Resposta
O limite não existe; \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}=\sqrt{2} e \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}=-\sqrt{2}.