Uma partícula de massa m\) se encontra em um poço quadrado infinito cujo potencial é dado por
\[V(x)= \begin{cases}V=\infty, & \text { para } x<-L / 2 \\\ V=0, & \text { para }-L / 2<x<+L / 2 \\\ V=\infty, & \text { para } x>+L / 2\end{cases}
Como este potencial é simétrico em relação à origem, a densidade de probabilidade, |\psi(x)|^{2}\], também deve ser simétrica.
(a) Mostre que isso significa que \(\psi(-x)=\psi(x) ou \psi(-x)=-\psi(x).
(b) Mostre que as soluções da equação de Schrödinger independente do tempo são:
e afirma que a densidade de probabilidade é simétrica: |\psi(x)|^{2} é par, isto é
|\psi(-x)|^{2}=|\psi(x)|^{2}\quad\text{para todo }x\text{ no poço.}ç
O que o exercício pede:
(a) mostrar que essa simetria de densidade implica \psi(-x)=\psi(x) ou \psi(-x)=-\psi(x);
(b) encontrar explicitamente as soluções da equação de Schrödinger independente do tempo (autofunções) no intervalo -L/2<x<+L/2 e mostrar que elas são
Como a igualdade vale para pontos onde \psi(x)\neq0, divide-se por \psi(x) e obtém-se
e^{i\alpha(x)}e^{i\alpha(-x)}=1.
Em particular, tomando x substituído por -x leva à mesma condição; combinando as informações (ou argumentando que a fase deve ser constante por continuidade das autofunções) conclui-se que e^{i\alpha(x)} é uma constante e^{i\alpha} independente de x e que satisfaz
e^{2i\alpha}=1.
As únicas soluções são e^{i\alpha}=+1 ou e^{i\alpha}=-1. Logo
Essas são, respectivamente, as funções pares e ímpares (paridade) — exatamente o que pediram. (Se \psi tiver zeros isolados, a conclusão ainda vale por continuidade das autofunções.)
Passo 3
(b) Resolver a equação de Schrödinger independente do tempo dentro do poço e aplicar condições de contorno.
Dentro do poço V(x)=0, a equação independente do tempo é
Use a primitiva \int\cos^{2}(ax)dx=\tfrac{x}{2}+\tfrac{\sin(2ax)}{4a}. Avaliando de 0 a L/2 e notando que \sin\big(2\cdot\frac{n\pi}{L}\cdot\frac{L}{2}\big)=\sin(n\pi)=0, obtemos
Usando \int_{0}^{L/2}\sin^{2}\!(ax)dx=\tfrac{L}{4} quando a=\frac{n\pi}{L} com n inteiro (o termo seno duplo também anula), obtemos novamente A=\sqrt{2/L}. Logo
Note que, embora as funções de onda do poço simétrico se organizem em pares/ímpares, o conjunto de n que aparece nas energias é exatamente o conjunto de todos os inteiros positivos. Esse mesmo conjunto de energias é obtido para o poço não centrado em 0 (o poço de 0<x<L), pois para aquele caso a solução usual dá exatamente
Portanto as energias permitidas são idênticas entre os dois potenciais — mudam apenas as formas (par/ímpar) das autofunções no poço centrado.
Resposta
(a) \psi(-x)=\psi(x) ou \psi(-x)=-\psi(x).\n
(b) \psi(x)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\cos\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) para n=1,3,5,\ldots e \psi(x)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) para n=2,4,6,\ldots.\n
(c) E_n=\dfrac{\hbar^{2}\pi^{2}n^{2}}{2mL^{2}} para n=1,2,3,\ldots (mesmo conjunto de energias do poço 0<x<L).