Questão 4:(2,0 pontos) Um pecuarista observa que o custo e a equação de demanda de produção de carne de boi sāo dados por
C(x) = 100x + 5000 e p = -x + 300
onde C é o custo, x é a quantidade de arrobas e p é o preço da arroba da carne de boi. Sabendo-se que o lucro é dado pela fórmula
L = x p - C(x)
determine:
ii) o preço para que o lucro seja máximo;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem que encontrar o preço que maximiza o lucro de um pecuarista. Para isso, vamos trabalhar com as funções de custo e demanda , além da fórmula do lucro . Precisamos usar um pouco de cálculo para achar o ponto máximo do lucro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as fórmulas que temos:
O lucro é dado por:
Substituindo e na fórmula do lucro:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão do lucro:
Agora, temos uma função quadrática do tipo , onde , e .

Passo 4

Para achar o valor de que maximiza o lucro, vamos encontrar o vértice da parábola. A fórmula para o vértice é:
Substituindo e :
Então, a quantidade de arrobas que maximiza o lucro é 100.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o preço correspondente a usando a função de demanda:
Substituindo :

Resposta

O preço para que o lucro seja máximo é .

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