Questão 2. (2.5 pontos) É possível que existam duas variáveis aleatórias distintas, mas que possuam a mesma distribuição de probabilidade? Justifique sua resposta e , se for o caso, apresente um exemplo concreto, podendo utilizar variáveis aleatórias discretas.
Passo 1
O enunciado pergunta se é possível existirem duas variáveis aleatórias distintas que, entretanto, tenham a mesma distribuição de probabilidade. Pede justificativa e um exemplo concreto (pode ser discreto).
Informações relevantes que temos do enunciado:
Informações relevantes que temos do enunciado:
- Deve-se responder “é possível?” (sim ou não) e justificar.
- Se for possível, apresentar um exemplo explícito de variáveis aleatórias (discretas serve).
Nada mais é dado, então vou construir um exemplo simples e explicar passo a passo por que ele funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de forma bem didática o que significa “variável aleatória” e “mesma distribuição”.
- Uma variável aleatória é uma função
definida num espaço de probabilidade . Ou seja, para cada resultado possível a variável atribui um número . - A distribuição (lei) de
é a regra que dá, para cada conjunto , a probabilidade . No caso discreto, é suficiente especificar a função massa de probabilidade (pmf) para cada .
“Igualdade em distribuição” dee significa que, para todo conjunto , . Em notação para pontos, para todo temos .
Agora construo um exemplo discreto bem simples.
Defino o espaço de probabilidade com apenas dois pontos:
Defino duas variáveis aleatórias
e
em
por:
Ou seja,
e
trocam os valores nos dois resultados do espaço amostral.
Passo 3
Agora mostro que
e
têm a mesma distribuição (mesma pmf). Para cada valor possível
calculo as probabilidades:
Para
:
Para
:
Portanto, para todo
temos
. Logo
e
têm exatamente a mesma distribuição: ambas são
(ou melhor, assumem valores
e
com probabilidade
cada).
Passo 4
Agora mostro que
e
são variáveis distintas (isto é, funções diferentes em
), não apenas renomeações triviais. Compare os valores ponto a ponto:
Logo existe
tal que
. Mais forte ainda, calcula-se a probabilidade do evento
:
Portanto
e
diferem com probabilidade
. Assim são claramente variáveis distintas (nem sequer são iguais quase certamente).
Passo 5
Explico pedagogicamente a diferença de conceitos, que é o ponto crucial para a prova:
- “Igualdade em distribuição” (mesma lei) significa que as probabilidades de ocupar conjuntos de valores são as mesmas para as duas variáveis. Isso não impõe nada sobre os valores atribuídos a cada ponto
. - “Igualdade quase certa” significa
; essa é uma condição muito mais forte: se vale, as variáveis coincidem em praticamente todos os . Igualdade quase certa implica mesma distribuição, mas a recíproca NÃO é verdade: é exatamente o que o exemplo acima demonstra.
Um comentário extra prático: na prova, se te pedirem para mostrar que duas variáveis têm a mesma distribuição, calcule as pmf (ou as funções de distribuição
) para ver se coincidem. Para provar que são distintas, mostre que existe evento de probabilidade positiva onde elas tomam valores diferentes (ou calcule
).
Resposta
Sim. Por exemplo, no espaço
com
, as variáveis
têm a mesma distribuição (ambas assumem
e
com probabilidade
cada), mas são distintas porque
.