Questão 2. (2.5 pontos) É possível que existam duas variáveis aleatórias distintas, mas que possuam a mesma distribuição de probabilidade? Justifique sua resposta e , se for o caso, apresente um exemplo concreto, podendo utilizar variáveis aleatórias discretas.

Passo 1

O enunciado pergunta se é possível existirem duas variáveis aleatórias distintas que, entretanto, tenham a mesma distribuição de probabilidade. Pede justificativa e um exemplo concreto (pode ser discreto).
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • Deve-se responder “é possível?” (sim ou não) e justificar.
  • Se for possível, apresentar um exemplo explícito de variáveis aleatórias (discretas serve).
    Nada mais é dado, então vou construir um exemplo simples e explicar passo a passo por que ele funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de forma bem didática o que significa “variável aleatória” e “mesma distribuição”.
  • Uma variável aleatória é uma função X:\Omega\to\mathbb{R} definida num espaço de probabilidade (\Omega,\mathcal{F},P). Ou seja, para cada resultado possível \omega\in\Omega a variável atribui um número X(\omega).
  • A distribuição (lei) de X é a regra que dá, para cada conjunto B\subset\mathbb{R}, a probabilidade P(X\in B). No caso discreto, é suficiente especificar a função massa de probabilidade (pmf) \,p_X(k)=P(X=k) para cada k\in\mathbb{R}.
    “Igualdade em distribuição” de X e Y significa que, para todo conjunto B, P(X\in B)=P(Y\in B). Em notação para pontos, para todo k temos P(X=k)=P(Y=k).
Agora construo um exemplo discreto bem simples.
Defino o espaço de probabilidade com apenas dois pontos:
\Omega=\{a,b\},\qquad P(\{a\})=\tfrac{1}{2},\quad P(\{b\})=\tfrac{1}{2}.
Defino duas variáveis aleatórias \,X e \,Y em \Omega por:
X(a)=0,\quad X(b)=1,
Y(a)=1,\quad Y(b)=0.
Ou seja, X e Y trocam os valores nos dois resultados do espaço amostral.

Passo 3

Agora mostro que X e Y têm a mesma distribuição (mesma pmf). Para cada valor possível k\in\{0,1\} calculo as probabilidades:
Para k=0:
P(X=0)=P(\{a\})=\tfrac{1}{2}, \qquad P(Y=0)=P(\{b\})=\tfrac{1}{2}.
Para k=1:
P(X=1)=P(\{b\})=\tfrac{1}{2}, \qquad P(Y=1)=P(\{a\})=\tfrac{1}{2}.
Portanto, para todo k\in\{0,1\} temos P(X=k)=P(Y=k)=\tfrac{1}{2}. Logo X e Y têm exatamente a mesma distribuição: ambas são \text{Bernoulli}(1/2) (ou melhor, assumem valores 0 e 1 com probabilidade 1/2 cada).

Passo 4

Agora mostro que X e Y são variáveis distintas (isto é, funções diferentes em \Omega), não apenas renomeações triviais. Compare os valores ponto a ponto:
X(a)=0\neq 1=Y(a).
Logo existe \omega=a tal que X(\omega)\neq Y(\omega). Mais forte ainda, calcula-se a probabilidade do evento \{X\neq Y\}:
P(X\neq Y)=P(\{a\})+P(\{b\})= \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1.
Portanto X e Y diferem com probabilidade 1. Assim são claramente variáveis distintas (nem sequer são iguais quase certamente).

Passo 5

Explico pedagogicamente a diferença de conceitos, que é o ponto crucial para a prova:
  • “Igualdade em distribuição” (mesma lei) significa que as probabilidades de ocupar conjuntos de valores são as mesmas para as duas variáveis. Isso não impõe nada sobre os valores atribuídos a cada ponto \omega\in\Omega.
  • “Igualdade quase certa” significa P(X=Y)=1; essa é uma condição muito mais forte: se vale, as variáveis coincidem em praticamente todos os \omega. Igualdade quase certa implica mesma distribuição, mas a recíproca NÃO é verdade: é exatamente o que o exemplo acima demonstra.
Um comentário extra prático: na prova, se te pedirem para mostrar que duas variáveis têm a mesma distribuição, calcule as pmf (ou as funções de distribuição F_X(x)=P(X\le x)) para ver se coincidem. Para provar que são distintas, mostre que existe evento de probabilidade positiva onde elas tomam valores diferentes (ou calcule P(X\neq Y)>0).

Resposta

Sim. Por exemplo, no espaço \Omega=\{a,b\} com P(\{a\})=P(\{b\})=\tfrac{1}{2}, as variáveis
X(a)=0,\\ X(b)=1 \qquad\text{e}\qquad Y(a)=1,\\ Y(b)=0
têm a mesma distribuição (ambas assumem 0 e 1 com probabilidade \tfrac{1}{2} cada), mas são distintas porque P(X\neq Y)=1.

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