Questão 1. (2.5 pontos) Um operador de escavadeira deve posicionar a caçamba exatamente sobre um ponto de escavação marcado no solo. Cada tentativa consiste em ajustar o braço hidráulico e alinhar a escavadeira com o ponto. A probabilidade de o operador acertar o alinhamento corretamente em uma tentativa é de 0,30 . Considerando até 15 tentativas, responda:
- A probabilidade de serem necessárias menos de 6 tentativas para que o operador acerte o posicionamento.
- A probabilidade de serem necessárias pelo menos 3 tentativas para o operador obter sucesso.
- O número esperado de tentativas até o primeiro acerto.
- A dispersāo (variância) do número esperado de tentativas em relação à média.
Passo 1
Dados e o que o enunciado pede (peguei os números do enunciado):
- A probabilidade de sucesso em cada tentativa é
. - Há no máximo
tentativas disponíveis (informação dada). - Defino a variável aleatória
como “número de tentativas até o primeiro acerto” — ou seja, vale se acertar na primeira tentativa, se acertar na segunda, etc.
O enunciado pede:
- A probabilidade de serem necessárias menos de
tentativas para obter o primeiro acerto (ou seja, ). - A probabilidade de serem necessárias pelo menos
tentativas para obter sucesso (ou seja, ). - O número esperado de tentativas até o primeiro acerto (ou seja,
). - A dispersão (variância) do número de tentativas até o primeiro acerto (ou seja,
).
Passo 2
Modelo e fórmulas básicas (explicação didática e simplificada):
- Pressuposto natural aqui: tentativas independentes e probabilidade de sucesso constante
em cada tentativa. Nessas condições, a distribuição de (número de tentativas até o primeiro sucesso) tem a seguinte probabilidade de massa:
onde:
-
é a probabilidade de sucesso em uma tentativa ( ); -
é a probabilidade de fracasso em uma tentativa (vou chamar , então ); - a fórmula diz: para haver sucesso exatamente na
-ésima tentativa é preciso fracassar nas primeiras (probabilidade ) e então ter sucesso na -ésima (fator ).
Vou usar essa fórmula para calcular os itens pedidos. Observação sobre o “até 15 tentativas”: os eventos pedidos (menos de 6 tentativas, pelo menos 3 tentativas) envolvembem menores que , então não é necessário truncar a soma por 15; as fórmulas acima valem diretamente.
Passo 3
Cálculo do item 1:
.
- Por definição
. - É mais prático usar o complementar:
. - Para a distribuição acima,
significa fracassar nas primeiras tentativas, então
- Substituindo
e , calculo as potências passo a passo:
- Portanto
Passo 4
Cálculo do item 2:
.
- Interpretando: “ser necessárias pelo menos 3 tentativas” significa que as primeiras 2 tentativas falham e a contagem não termina antes da 3ª, logo
- Substituindo
:
Passo 5
Cálculo do item 3:
(explicação didática).
- A esperança para essa distribuição pode ser obtida pela soma
- Factorizando
:
- Usamos um resultado clássico de séries geométricas: para
,
(uma breve intuição: essa soma é a derivada de
e dá
.)
- Como
, temos
- Substituindo
:
Passo 6
Cálculo do item 4:
(dispersão), com derivação passo a passo.
- Lembre que
. - Vamos achar
. Uma técnica útil é calcular primeiro pois
- Calculo de
:
- Usando séries: para
vale
(essa identidade vem de duas diferenciações da soma geométrica básica.)
- Substituindo na expressão de
e lembrando , obtemos
- Agora
- Assim
- Colocando tudo sobre
e simplificando (lembrando ) resulta
- Substituindo
e :