Questão 1. (2.5 pontos) Um operador de escavadeira deve posicionar a caçamba exatamente sobre um ponto de escavação marcado no solo. Cada tentativa consiste em ajustar o braço hidráulico e alinhar a escavadeira com o ponto. A probabilidade de o operador acertar o alinhamento corretamente em uma tentativa é de 0,30 . Considerando até 15 tentativas, responda:
  1. A probabilidade de serem necessárias menos de 6 tentativas para que o operador acerte o posicionamento.
  2. A probabilidade de serem necessárias pelo menos 3 tentativas para o operador obter sucesso.
  3. O número esperado de tentativas até o primeiro acerto.
  4. A dispersāo (variância) do número esperado de tentativas em relação à média.

Passo 1

Dados e o que o enunciado pede (peguei os números do enunciado):
  • A probabilidade de sucesso em cada tentativa é p=0,30.
  • Há no máximo 15 tentativas disponíveis (informação dada).
  • Defino a variável aleatória X como “número de tentativas até o primeiro acerto” — ou seja, X vale 1 se acertar na primeira tentativa, 2 se acertar na segunda, etc.
    O enunciado pede:
  1. A probabilidade de serem necessárias menos de 6 tentativas para obter o primeiro acerto (ou seja, P(X<6)).
  2. A probabilidade de serem necessárias pelo menos 3 tentativas para obter sucesso (ou seja, P(X\ge 3)).
  3. O número esperado de tentativas até o primeiro acerto (ou seja, E[X]).
  4. A dispersão (variância) do número de tentativas até o primeiro acerto (ou seja, \operatorname{Var}(X)).

Passo 2

Modelo e fórmulas básicas (explicação didática e simplificada):
  • Pressuposto natural aqui: tentativas independentes e probabilidade de sucesso constante p em cada tentativa. Nessas condições, a distribuição de X (número de tentativas até o primeiro sucesso) tem a seguinte probabilidade de massa:
P(X=k)=(1-p)^{\,k-1}p,\qquad k=1,2,\dots
onde:
  • p é a probabilidade de sucesso em uma tentativa ( p=0,30);
  • 1-p é a probabilidade de fracasso em uma tentativa (vou chamar q=1-p, então q=0,70);
  • a fórmula diz: para haver sucesso exatamente na k-ésima tentativa é preciso fracassar nas k-1 primeiras (probabilidade q^{\,k-1}) e então ter sucesso na k-ésima (fator p).
    Vou usar essa fórmula para calcular os itens pedidos. Observação sobre o “até 15 tentativas”: os eventos pedidos (menos de 6 tentativas, pelo menos 3 tentativas) envolvem k bem menores que 15, então não é necessário truncar a soma por 15; as fórmulas acima valem diretamente.

Passo 3

Cálculo do item 1: P(X<6).
  • Por definição P(X<6)=\sum_{k=1}^{5}P(X=k).
  • É mais prático usar o complementar: P(X<6)=1-P(X\ge6).
  • Para a distribuição acima, P(X\ge6) significa fracassar nas primeiras 5 tentativas, então
P(X\ge6)=q^{5}=(1-p)^{5}.
  • Substituindo p=0,30 e q=0,70, calculo as potências passo a passo:
q^{2}=0,70^{2}=0,49, \quad q^{3}=0,70^{3}=0,343, \quad q^{4}=0,70^{4}=0,2401, \quad q^{5}=0,70^{5}=0,16807.
  • Portanto
P(X<6)=1-q^{5}=1-0,16807=0,83193\\ (\text{aprox.}).

Passo 4

Cálculo do item 2: P(X\ge3).
  • Interpretando: “ser necessárias pelo menos 3 tentativas” significa que as primeiras 2 tentativas falham e a contagem não termina antes da 3ª, logo
P(X\ge3)=q^{2}=(1-p)^{2}.
  • Substituindo q=0,70:
P(X\ge3)=0,70^{2}=0,49.

Passo 5

Cálculo do item 3: E[X] (explicação didática).
  • A esperança para essa distribuição pode ser obtida pela soma
E[X]=\sum_{k=1}^{\infty} k\,P(X=k)=\sum_{k=1}^{\infty} k\,q^{\,k-1}p.
  • Factorizando p:
E[X]=p\sum_{k=1}^{\infty} k\,q^{\,k-1}.
  • Usamos um resultado clássico de séries geométricas: para |q|<1,
\sum_{k=1}^{\infty} k\,q^{\,k-1}=\frac{1}{(1-q)^{2}}.
(uma breve intuição: essa soma é a derivada de \sum q^{k}=1/(1-q) e dá 1/(1-q)^{2}.)
  • Como 1-q=p, temos
E[X]=p\cdot\frac{1}{p^{2}}=\frac{1}{p}.
  • Substituindo p=0,30:
E[X]=\frac{1}{0,30}=\frac{10}{3}\approx 3,333\ldots

Passo 6

Cálculo do item 4: \operatorname{Var}(X) (dispersão), com derivação passo a passo.
  • Lembre que \operatorname{Var}(X)=E[X^{2}]-\bigl(E[X]\bigr)^{2}.
  • Vamos achar E[X^{2}]. Uma técnica útil é calcular primeiro E[X(X-1)] pois
E[X^{2}]=E[X(X-1)]+E[X].
  • Calculo de E[X(X-1)]:
E[X(X-1)]=\sum_{k=1}^{\infty} k(k-1)P(X=k) = p\sum_{k=1}^{\infty} k(k-1)q^{\,k-1}.
  • Usando séries: para |q|<1 vale
\sum_{k=1}^{\infty} k(k-1)q^{\,k-1}=\frac{2q}{(1-q)^{3}}.
(essa identidade vem de duas diferenciações da soma geométrica básica.)
  • Substituindo na expressão de E[X(X-1)] e lembrando 1-q=p, obtemos
E[X(X-1)]=p\cdot\frac{2q}{p^{3}}=\frac{2q}{p^{2}}.
  • Agora
E[X^{2}]=E[X(X-1)]+E[X]=\frac{2q}{p^{2}}+\frac{1}{p}.
  • Assim
\operatorname{Var}(X)=E[X^{2}]-(E[X])^{2} =\left(\frac{2q}{p^{2}}+\frac{1}{p}\right)-\frac{1}{p^{2}} =\frac{2q}{p^{2}}+\frac{1}{p}-\frac{1}{p^{2}}.
  • Colocando tudo sobre p^{2} e simplificando (lembrando q=1-p) resulta
\operatorname{Var}(X)=\frac{q}{p^{2}}=\frac{1-p}{p^{2}}.
  • Substituindo p=0,30 e q=0,70:
\operatorname{Var}(X)=\frac{0,70}{0,30^{2}}=\frac{0,70}{0,09}=7,777\ldots =\frac{70}{9}.

Resposta

  1. P(X<6)=1-(0,70)^{5}\approx 0,83193
  2. P(X\ge 3)=(0,70)^{2}=0,49
  3. E[X]=\dfrac{1}{0,30}=\dfrac{10}{3}\approx 3,333\ldots
  4. \operatorname{Var}(X)=\dfrac{0,70}{0,30^{2}}=\dfrac{70}{9}\approx 7,777\ldots

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