Questão 3 ( 2,5 pontos) Um quilograma de gelo é removido de um congelador a -25^{\circ} \mathrm{C} e aquecido, até converter-se totalmente em vapor, a 100^{\circ} \mathrm{C}.
a) Qual a quantidade de calor, em unidade do SI, absorvida pelo gelo até converter-se totalmente em vapor a 100^{\circ} \mathrm{C} ?(1,0)
b) Qual é a variação de entropia do universo, em unidade do SI, se o calor foi cedido devido ao contato térmico com uma fonte a 200^{\circ} \mathrm{C} ?(1,5)
Dados: O calor específico do gelo é de 0,5 \mathrm{cal} / \mathrm{g}{ }^{\circ} \mathrm{C}; o calor específico da água é de 1,0 \mathrm{cal} / \mathrm{g}{ }^{\circ} \mathrm{C}; o calor latente de fusão do gelo é de 80 \mathrm{cal} / \mathrm{g}, e o calor latente de vaporização da água é de 540 \mathrm{cal} / \mathrm{g}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, para m=1\\ \mathrm{kg} de gelo inicialmente a -25^\circ\mathrm{C} que é aquecido até virar vapor a 100^\circ\mathrm{C}:
(a) Qual a quantidade de calor absorvida pelo gelo até converter-se totalmente em vapor a 100^\circ\mathrm{C} (em unidades do SI)?
(b) Qual a variação de entropia do universo, em unidades do SI, se esse calor foi cedido por uma fonte térmica a 200^\circ\mathrm{C}?
Dados fornecidos (vou listá-los tal como estão no enunciado; vou usar-os depois em J também):
  • calor específico do gelo: c_{\text{gelo}}=0{,}5\\ \mathrm{cal}\,/(\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C});
  • calor específico da água líquida: c_{\text{água}}=1{,}0\\ \mathrm{cal}\,/(\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C})á;
  • calor latente de fusão: L_f=80\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g};
  • calor latente de vaporização: L_v=540\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}.
Constantes e conversões que vamos usar (todas necessárias para passar a SI):
  • massa: m=1\\ \mathrm{kg}=1000\\ \mathrm{g}.
  • conversão de calorias para joules: 1\\ \mathrm{cal}=4{,}186\\ \mathrm{J}.
  • temperaturas em Kelvin: -25^\circ\mathrm{C}=248{,}15\\ \mathrm{K}, 0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K}, 100^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K}, 200^\circ\mathrm{C}=473{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Plano de ataque (curtinho e prático, sem resolver ainda): para (a) somamos os quatro troços de calor necessários, em cal, e depois convertemos para J:
  1. aquecer o gelo de -25^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C};
  2. fundir o gelo a 0^\circ\mathrm{C};
  3. aquecer a água líquida de 0^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C};
  4. vaporizar a água a 100^\circ\mathrm{C}.
Para (b) usamos a definição termodinâmica de entropia para processos reversíveis:
  • para aquecimento a pressão (e temperatura) variando: \Delta S = \int \dfrac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}. Para corpos com calor específico constante isso vira \Delta S = m c \ln\!\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right) (com T em K).
  • para mudança de fase a temperatura constante: \Delta S = \dfrac{Q_{\text{rev}}}{T_{\text{fase}}} = \dfrac{m L}{T_{\text{fase}}}.
    A entropia do universo é \Delta S_{\text{univ}}=\Delta S_{\text{sistema}}+\Delta S_{\text{fonte}}, onde \Delta S_{\text{fonte}}=-\dfrac{Q_{\text{fornecido}}}{T_{\text{fonte}}} (fonte perde calor Q à temperatura constante).

Passo 3

Converter os dados para unidades SI (J e J/K onde for calor específico):
  • c_{\text{gelo}}=0{,}5\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C}) = 0{,}5\times4{,}186\\ \mathrm{J}/(\mathrm{g}\,\mathrm{K}) = 2{,}093\\ \mathrm{J}/(\mathrm{g}\,\mathrm{K}).
  • c_{\text{água}}=1{,}0\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C}) = 1{,}0\times4{,}186\\ \mathrm{J}/(\mathrm{g}\,\mathrm{K}) = 4{,}186\\ \mathrm{J}/(\mathrm{g}\,\mathrm{K})á.
  • L_f=80\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g} = 80\times4{,}186\\ \mathrm{J}/\mathrm{g} = 334{,}88\\ \mathrm{J}/\mathrm{g}.
  • L_v=540\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g} = 540\times4{,}186\\ \mathrm{J}/\mathrm{g} = 2\,260{,}44\\ \mathrm{J}/\mathrm{g}.
Também anoto massa vezes calor específico (úteis para fórmulas):
  • m c_{\text{gelo}} = 1000\\ \mathrm{g}\times2{,}093\\ \mathrm{J}/(\mathrm{g}\,\mathrm{K}) = 2093\\ \mathrm{J/K}.
  • m c_{\text{água}} = 1000\\ \mathrm{g}\times4{,}186\\ \mathrm{J}/(\mathrm{g}\,\mathrm{K}) = 4\,186\\ \mathrm{J/K}á.

Passo 4

Calcular o calor total absorvido (parte (a)) em calororias primeiro — é direto somar as quatro contribuições:
  1. aquecer gelo de -25^\circ\mathrm{C} a 0^\circ\mathrm{C}:
Q_1 = m\; c_{\text{gelo (em cal)}}\;\Delta T = 1000\\ \mathrm{g}\times0{,}5\\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}}\times(0-(-25)) = 1000\times0{,}5\times25 = 12\,500\\ \mathrm{cal}.
  1. fusão a 0^\circ\mathrm{C}:
Q_2 = m\; L_f = 1000\\ \mathrm{g}\times80\\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}} = 80\,000\\ \mathrm{cal}.
  1. aquecer água de 0^\circ\mathrm{C} a 100^\circ\mathrm{C}:
Q_3 = m\; c_{\text{água (em cal)}}\;\Delta T = 1000\\ \mathrm{g}\times1{,}0\\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}}\times(100-0)=100\,000\\ \mathrm{cal}.á
  1. vaporização a 100^\circ\mathrm{C}:
Q_4 = m\; L_v = 1000\\ \mathrm{g}\times540\\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}} = 540\,000\\ \mathrm{cal}.
Somando em calorias:
Q_{\text{total (cal)}} = Q_1+Q_2+Q_3+Q_4 = 12\,500+80\,000+100\,000+540\,000 = 732\,500\\ \mathrm{cal}.
Agora converto para joules usando 1\\ \mathrm{cal}=4{,}186\\ \mathrm{J}:
Q_{\text{total}} = 732\,500\\ \mathrm{cal}\times4{,}186\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{cal}} = 3\,066\,245\\ \mathrm{J}\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Agora calculo a variação de entropia do sistema (o corpo que vai de gelo a vapor) — vamos somar as 4 contribuições em J/K, usando as fórmulas apropriadas:
  1. aquecimento do gelo de T_1=248{,}15\\ \mathrm{K} a T_2=273{,}15\\ \mathrm{K}:
\Delta S_1 = m c_{\text{gelo}}\ln\!\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right) = 2093\\ \mathrm{J/K}\times\ln\!\left(\dfrac{273{,}15}{248{,}15}\right).
Calcule o logaritmo: \ln\!\left(\dfrac{273{,}15}{248{,}15}\right)\approx0{,}0956. Assim
\Delta S_1 \approx 2093\times0{,}0956 \approx 200{,}2\\ \mathrm{J/K}.
  1. fusão a T=273{,}15\\ \mathrm{K}:
\Delta S_2 = \dfrac{Q_2\\ (\text{J})}{T} = \dfrac{m L_f\\ (\text{J})}{273{,}15} = \dfrac{1000\times334{,}88}{273{,}15}\\ \mathrm{J/K}\approx1\,226{,}2\\ \mathrm{J/K}.
  1. aquecer a água líquida de 273{,}15\\ \mathrm{K} a 373{,}15\\ \mathrm{K}:
\Delta S_3 = m c_{\text{água}}\ln\!\left(\dfrac{373{,}15}{273{,}15}\right) = 4186\\ \mathrm{J/K}\times\ln\!\left(\dfrac{373{,}15}{273{,}15}\right).á
O logaritmo vale aproximadamente 0{,}3118, então
\Delta S_3 \approx 4186\times0{,}3118 \approx 1\,305{,}8\\ \mathrm{J/K}.
  1. vaporização a T=373{,}15\\ \mathrm{K}:
\Delta S_4 = \dfrac{Q_4\\ (\text{J})}{T} = \dfrac{m L_v\\ (\text{J})}{373{,}15} = \dfrac{1000\times2\,260{,}44}{373{,}15}\\ \mathrm{J/K}\approx6\,058{,}0\\ \mathrm{J/K}.
Somando as quatro contribuições:
\Delta S_{\text{sistema}}=\Delta S_1+\Delta S_2+\Delta S_3+\Delta S_4 \approx 200{,}2+1\,226{,}2+1\,305{,}8+6\,058{,}0 \approx 8\,790{,}2\\ \mathrm{J/K}.

Passo 6

Calcular a variação de entropia da fonte térmica a 200^\circ\mathrm{C}=473{,}15\\ \mathrm{K}.
A fonte forneceu calor Q_{\text{fornecido}} = Q_{\text{total}} = 3\,066\,245\\ \mathrm{J}. Como a fonte está a temperatura constante T_{\text{fonte}}=473{,}15\\ \mathrm{K},
\Delta S_{\text{fonte}} = -\dfrac{Q_{\text{fornecido}}}{T_{\text{fonte}}} = -\dfrac{3\,066\,245}{473{,}15}\\ \mathrm{J/K} \approx -6\,480{,}5\\ \mathrm{J/K}.

Passo 7

Calcular a variação de entropia do universo:
\Delta S_{\text{univ}} = \Delta S_{\text{sistema}} + \Delta S_{\text{fonte}} \approx 8\,790{,}2 + (-6\,480{,}5) = 2\,309{,}7\\ \mathrm{J/K}.
Resultado positivo, como a segunda lei exige para um processo espontâneo irreversível (transferência de calor de fonte quente para corpo mais frio).

Resposta

(a) 3{,}066\,245\\ \mathrm{J} (aprox. 3{,}07\times10^{6}\\ \mathrm{J})
(b) \Delta S_{\text{universo}} \approx 2{,}31\times10^{3}\\ \mathrm{J/K}

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