Questão 1. Uma corrente alternada I= I_{0} \cos (\omega t) passa por um fio longo e reto, retornando através de um tubo condutor coaxial de raio a. Responda:
(a) Em que direção o campo elétrico induzido aponta (radial, circunferencial ou longitudinal)?
(b) Assumindo { }^{1} que o campo tente a zero à medida que s \rightarrow \infty, encontre \overrightarrow{\mathbf{E}}(s, t);
(c) Encontre a densidade de corrente de deslocamento \overrightarrow{\mathbf{J}}_{d};
(d) Integre \overrightarrow{\mathbf{J}}_{d} para obter a corrente de deslocamento total I_{d}=\int \overrightarrow{\mathbf{J}}_{d} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{a}} ;
(e) Calcule a razão entre I_{d} e I, se o cilindro externo tivesse, digamos, 2 mm de diâmetro, para determinar o quão alta a frequência teria de ser para que I_{d} fosse 1 \% de I;
(f) Com base nos itens anteriores, explique porque por que Faraday nunca descobriu as correntes de deslocamento e por que normalmente é seguro ignorá-las, a menos que a frequência seja extremamente alta.
{ }^{1} Na realidade, os campos elétricos não se comportam assim em cabos coaxiais, mas vamos assumir que sim apenas para este problema.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte (peguei todos os dados do enunciado):
Uma corrente alternada I(t)=I_{0}\cos(\omega t) percorre um fio longo e reto (e volta por um tubo condutor coaxial de raio a).
Assume-se, para simplificar, que o campo elétrico tende a zero quando s\to\infty.
O que se pede:
(a) direção do campo elétrico induzido (radial, circunferencial ou longitudinal);
(b) encontrar \overrightarrow{\mathbf{E}}(s,t) assumindo \overrightarrow{\mathbf{E}}\to0 quando s\to\infty;
(c) densidade de corrente de deslocamento \overrightarrow{\mathbf{J}}_{d};
(d) corrente de deslocamento total I_{d}=\int \overrightarrow{\mathbf{J}}_{d}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{a}};
(e) para um tubo externo de diâmetro 2\\ \mathrm{mm} (logo a=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}), determinar quão alta a frequência tem de ser para que I_{d} seja 1\% de I;
(f) explicar por que Faraday nunca observou correntes de deslocamento e por que normalmente podem ser ignoradas exceto em frequências extremamente altas.
Passo 2
Intuição e simetria — direção de \overrightarrow{\mathbf{E}}.
A corrente variável produz um campo magnético \overrightarrow{\mathbf{B}} ao redor do fio. Pelo princípio da simetria axial (o problema é independente de \varphi e z), o campo magnético é tangencial às círculas concêntricas: \overrightarrow{\mathbf{B}}=B_{\varphi}(s,t)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.
A Lei de Faraday (forma integral) diz que uma mudança temporal do fluxo magnético através de uma superfície produz uma força eletromotriz ao redor da borda da superfície. Escolhendo uma superfície plana no plano r\!-\!z (um retângulo que tem normal na direção \hat{\boldsymbol{\varphi}}), o fluxo de \overrightarrow{\mathbf{B}} através dessa superfície é \int B_{\varphi}\,dA e, se esse fluxo varia no tempo, aparece uma força ao longo do contorno que implica componentes de campo elétrico na direção z (ao longo do fio).
Matematicamente, em coordenadas cilíndricas, se \overrightarrow{\mathbf{E}} depende só de s e t e tem apenas componente axial, \overrightarrow{\mathbf{E}}=E_{z}(s,t)\,\hat{\mathbf{z}}, então a componente \varphi de \nabla\times\overrightarrow{\mathbf{E}} é -\partial E_{z}/\partial s, que pode igualar -\partial B_{\varphi}/\partial t. Isso é consistente.
Conclusão do item (a): o campo elétrico induzido aponta na direção longitudinal (ou axial), ou seja, na direção do fio, \hat{\mathbf{z}}.
Passo 3
Equação de partida e fórmula geral para E_{z}(s,t).
Assumimos simetria: nenhuma dependência em \varphi nem em z, e \overrightarrow{\mathbf{E}}=E_{z}(s,t)\,\hat{\mathbf{z}}, \overrightarrow{\mathbf{B}}=B_{\varphi}(s,t)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}. Em coordenadas cilíndricas a componente \varphi do rotacional é
Esta é a fórmula geral que usaremos depois, bastando conhecer B_{\varphi}(s,t).
Passo 4
Encontrar B_{\varphi}(s,t) pelo Teorema de Ampère (simetria cilíndrica).
Para um fio longo com corrente I(t) e retorno no condutor coaxial em raio a, o campo magnético circular obtido por Ampère é:
Para 0<s<a (entre fio interno e o tubo): a corrente total envolvida é I(t), então
B_{\varphi}(s,t)=\frac{\mu_{0}I(t)}{2\pi s}.
Para s>a (fora do condutor coaxial): a corrente no condutor interno e a corrente de retorno no tubo somam zero (I-I=0), logo
B_{\varphi}(s,t)=0\quad\text{para }s>a.
(Usei a forma integral de Ampère numa circunferência de raio s: \oint\overrightarrow{\mathbf{B}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{l}}=\mu_{0}I_{\rm enc}.)
Passo 5
Calcular E_{z}(s,t) explicitamente usando a fórmula do Passo 3 e o B_{\varphi} do Passo 4.
Para s>a: como B_{\varphi}(s',t)=0 para todo s'>s, a integral é zero e
Direção: \overrightarrow{\mathbf{E}}(s,t)=E_{z}(s,t)\,\hat{\mathbf{z}}. (Note a dependência \ln(a/s) que diverge no centro; isso é arte da idealização do fio infinitamente fino.)
Passo 6
Densidade de corrente de deslocamento \overrightarrow{\mathbf{J}}_{d}.
Definição: \overrightarrow{\mathbf{J}}_{d}=\varepsilon_{0}\dfrac{\partial\overrightarrow{\mathbf{E}}}{\partial t}.
Como \overrightarrow{\mathbf{E}}=E_{z}(s,t)\,\hat{\mathbf{z}}, obtemos
Observação direta: a corrente de deslocamento tem a mesma dependência temporal \cos(\omega t) da corrente condutora I(t), apenas com fator multiplicativo.
Passo 8
Razão entre I_{d} e I; aplicação numérica para a=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Portanto, para um cabo coaxial de diâmetro 2\\ \mathrm{mm} seria necessário \sim\!10\\ \mathrm{GHz} para que a corrente de deslocamento seja \sim\!1\% da corrente condutora.
Passo 9
Interpretação física e resposta ao item (f) — por que Faraday não viu essas correntes e quando podemos ignorá-las.
A expressão \dfrac{I_{d}}{I}=\dfrac{\omega^{2}a^{2}}{4c^{2}} mostra que a corrente de deslocamento cresce com o quadrado da frequência e com o quadrado do tamanho do cabo. Para dimensões pequenas (a pequeno) e frequências baixas, essa razão é extremamente pequena.
Faraday fez experimentos em regimes quasi-estacionários (frequências muito baixas ou variações lentas), com aparelhos de dimensões macroscópicas mas não com fontes de GHz; por isso o efeito de corrente de deslocamento era negligível e não apareceu em suas observações experimentais.
Na prática de circuitos eléctricos de baixa e média frequência (rádio até algumas centenas de MHz, dependendo do cabo), a contribuição da corrente de deslocamento no espaço entre condutores é muito pequena comparada à corrente de condução e pode ser ignorada. Só em frequências extremamente altas ou em estruturas de dimensões comparáveis ao comprimento de onda (ou quando \omega a/c não é pequeno) o deslocamento torna-se relevante — então as equações completas de Maxwell (incluindo \varepsilon_{0}\partial \mathbf{E}/\partial t) são necessárias e dão origem à radiação eletromagnética.
Resumindo: Faraday não observou porque trabalhava em baixa frequência; normalmente é seguro ignorar \overrightarrow{\mathbf{J}}_{d} em circuitos comuns, salvo quando se entra na faixa de micro-ondas e acima ou em problemas de antenas / propagação onde \omega a/c não é desprezível.
Resposta
(a) Longitudinal (axial), isto é, na direção [\hat{\mathbf{z}}).
(e) Para a=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m} e \dfrac{I_{d}}{I}=0{,}01 obtém-se \displaystyle \omega\approx 6{,}0\times10^{10}\\ \mathrm{rad/s} e \displaystyle f=\frac{\omega}{2\pi}\approx 9{,}6\times10^{9}\\ \mathrm{Hz} (aprox. 9{,}6\\ \mathrm{GHz}).
(f) Porque a fração \dfrac{I_{d}}{I}=\dfrac{\omega^{2}a^{2}}{4c^{2}} é extremamente pequena em regimes de baixas frequências e para cabos de dimensão moderada; Faraday trabalhava com variações lentas e não alcançou frequências altas o suficiente para tornar I_{d} mensurável. Em circuitos usuais pode‑se então ignorar \overrightarrow{\mathbf{J}}_{d} salvo quando se entra na faixa de micro‑ondas ou em problemas de radiação onde \omega a/c não é pequeno.]