Questão 4.7 Considere um sistema com coordenadas cartesianas
e uma Hamiltoniana:
onde
é a massa e
é o potencial. Determine as equações de Hamilton para este sistema.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado fornece a Hamiltoniana do sistema em coordenadas cartesianas
e momentos conjugados :
- Aqui
é a massa (uma constante) e é o potencial (função das coordenadas). - O enunciado pede: determinar as equações de Hamilton para este sistema — ou seja, achar as equações temporais para as coordenadas e para os momentos conjugados.
Passo 2
O que são as equações de Hamilton (fórmula que vamos usar) e o que cada símbolo significa.
- Para um sistema com coordenadas generalizadas
e momentos conjugados a Hamiltoniana gera as equações de movimento ditas de Hamilton:
- Interpretação dos símbolos:
-
é a derivada temporal de , isto é . -
é a derivada temporal de , isto é . -
e são derivadas parciais da Hamiltoniana em relação a e , respectivamente.
-
- Essas fórmulas são a regra direta que aplica-se ao Hamiltoniano dado; agora vamos aplicá-las para
e os momentos correspondentes.
Passo 3
Cálculo de
usando
.
- Primeiro calculemos
. A Hamiltoniana depende de apenas através do termo . A derivada parcial de em relação a é:
- Portanto, pela primeira fórmula de Hamilton,
- Repetindo o mesmo raciocínio para
e :
- Comentário didático: a razão pela qual aparece
é que o termo cinético é quadrático em . Em muitos problemas físicos com energia cinética padrão, coincide com (momento linear), então essas equações dizem simplesmente que a velocidade é o momento dividido pela massa.
Passo 4
Cálculo de
usando
.
- A Hamiltoniana depende das coordenadas
apenas por meio do potencial . Logo,
- Aplicando a segunda fórmula de Hamilton:
- Interpretação física simples:
é a força conservativa; cada é a componente dessa força. Em outras palavras, as equações de Hamilton recuperam as leis de Newton para forças conservativas. Para ver isso rapidamente: se , então diferenciando obtemos e substituindo resulta em
que é a forma cartesiana de
.
Passo 5
Exemplo concreto e curto para fixar (opcional mas útil).
- Se
(os outros graus de liberdade não participam), então: -
, -
. - Eliminando
obtemos , que é a equação do oscilador harmônico — clássico exemplo que mostra como as equações de Hamilton reproduzem equações familiares.
-