Questão 4.7 Considere um sistema com coordenadas cartesianas x, y, z e uma Hamiltoniana:
H\left(x, y, z, p_{x}, p_{y}, p_{z}\right)=\frac{p_{x}^{2}}{2 m}+\frac{p_{y}^{2}}{2 m}+\frac{p_{z}^{2}}{2 m}+V(x, y, z),
onde m é a massa e V(x, y, z) é o potencial. Determine as equações de Hamilton para este sistema.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado fornece a Hamiltoniana do sistema em coordenadas cartesianas \,x,y,z e momentos conjugados \,p_x,p_y,p_z:
H\left(x,y,z,p_x,p_y,p_z\right)=\frac{p_x^{2}}{2m}+\frac{p_y^{2}}{2m}+\frac{p_z^{2}}{2m}+V(x,y,z).
  • Aqui \,m é a massa (uma constante) e \,V(x,y,z) é o potencial (função das coordenadas).
  • O enunciado pede: determinar as equações de Hamilton para este sistema — ou seja, achar as equações temporais para as coordenadas e para os momentos conjugados.

Passo 2

O que são as equações de Hamilton (fórmula que vamos usar) e o que cada símbolo significa.
  • Para um sistema com coordenadas generalizadas \,q_i e momentos conjugados \,p_i a Hamiltoniana \,H(q,p,t) gera as equações de movimento ditas de Hamilton:
\dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}.
  • Interpretação dos símbolos:
    • \dot q_i é a derivada temporal de \,q_i, isto é \dfrac{d q_i}{dt}.
    • \dot p_i é a derivada temporal de \,p_i, isto é \dfrac{d p_i}{dt}.
    • \dfrac{\partial H}{\partial p_i} e \dfrac{\partial H}{\partial q_i} são derivadas parciais da Hamiltoniana em relação a \,p_i e \,q_i, respectivamente.
  • Essas fórmulas são a regra direta que aplica-se ao Hamiltoniano dado; agora vamos aplicá-las para q_1=x,\;q_2=y,\;q_3=z e os momentos correspondentes.

Passo 3

Cálculo de \dot x,\dot y,\dot z usando \dot q_i=\dfrac{\partial H}{\partial p_i}.
  • Primeiro calculemos \dfrac{\partial H}{\partial p_x}. A Hamiltoniana depende de \,p_x apenas através do termo \dfrac{p_x^2}{2m}. A derivada parcial de \dfrac{p_x^2}{2m} em relação a \,p_x é:
\frac{\partial}{\partial p_x}\left(\frac{p_x^2}{2m}\right)=\frac{2p_x}{2m}=\frac{p_x}{m}.
  • Portanto, pela primeira fórmula de Hamilton,
\dot x=\frac{\partial H}{\partial p_x}=\frac{p_x}{m}.
  • Repetindo o mesmo raciocínio para \,p_y e \,p_z:
\dot y=\frac{\partial H}{\partial p_y}=\frac{p_y}{m}, \qquad \dot z=\frac{\partial H}{\partial p_z}=\frac{p_z}{m}.
  • Comentário didático: a razão pela qual aparece \dfrac{p_x}{m} é que o termo cinético é quadrático em \,p_x. Em muitos problemas físicos com energia cinética padrão, \,p_x coincide com \,m\dot x (momento linear), então essas equações dizem simplesmente que a velocidade é o momento dividido pela massa.

Passo 4

Cálculo de \dot p_x,\dot p_y,\dot p_z usando \dot p_i=-\dfrac{\partial H}{\partial q_i}.
  • A Hamiltoniana depende das coordenadas \,x,y,z apenas por meio do potencial \,V(x,y,z). Logo,
\frac{\partial H}{\partial x}=\frac{\partial V}{\partial x},\qquad \frac{\partial H}{\partial y}=\frac{\partial V}{\partial y},\qquad \frac{\partial H}{\partial z}=\frac{\partial V}{\partial z}.
  • Aplicando a segunda fórmula de Hamilton:
\dot p_x=-\frac{\partial H}{\partial x}=-\frac{\partial V}{\partial x},
\dot p_y=-\frac{\partial H}{\partial y}=-\frac{\partial V}{\partial y},
\dot p_z=-\frac{\partial H}{\partial z}=-\frac{\partial V}{\partial z}.
  • Interpretação física simples: -\nabla V é a força conservativa; cada \dot p_i é a componente dessa força. Em outras palavras, as equações de Hamilton recuperam as leis de Newton para forças conservativas. Para ver isso rapidamente: se p_x=m\dot x, então diferenciando \dot x=p_x/m obtemos \ddot x=\dot p_x/m e substituindo \dot p_x=-\partial V/\partial x resulta em
m\ddot x=-\frac{\partial V}{\partial x},
que é a forma cartesiana de m\mathbf{\ddot r}=-\nabla V.

Passo 5

Exemplo concreto e curto para fixar (opcional mas útil).
  • Se V(x,y,z)=\tfrac{1}{2}k x^{2} (os outros graus de liberdade não participam), então:
    • \dot x=p_x/m,
    • \dot p_x=-\dfrac{\partial V}{\partial x}=-k x.
    • Eliminando p_x obtemos \ddot x=-(k/m)x, que é a equação do oscilador harmônico — clássico exemplo que mostra como as equações de Hamilton reproduzem equações familiares.

Resposta

\dot x=\dfrac{p_x}{m}
\dot y=\dfrac{p_y}{m}
\dot z=\dfrac{p_z}{m}
\dot p_x=-\dfrac{\partial V}{\partial x}
\dot p_y=-\dfrac{\partial V}{\partial y}
\dot p_z=-\dfrac{\partial V}{\partial z}

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