Questão 2 (1,5 pontos) Resolva:
Determine e esboce o domínio da função
.
Determine e esboce o domínio da função
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar o domínio da função e esboçá-lo. A função dada é
As informações relevantes que o enunciado fornece (explicitamente pela fórmula) são: a presença de uma função logarítmica
e de uma fração com raiz no denominador
. A partir disso temos que impor as condições necessárias para que cada uma dessas expressões esteja bem definida (ou seja, sem argumento negativo no logaritmo, sem radicando negativo, e sem divisão por zero). A resolução começa a seguir.
Passo 2
Condição vinda do logaritmo
.
Explicação didática: a função logaritmo natural
está definida somente para argumentos estritamente positivos, isto é, só faz sentido calcular
quando
. Aqui o argumento é
, portanto devemos exigir
Agora resolvemos essa desigualdade em termos de
. Subtraindo 1 dos dois lados e multiplicando por
(lembrando que a desigualdade troca de sentido ao multiplicar por número negativo), ou mais simples: reescrevendo,
Portanto a primeira condição é
. Isso significa que todas as coordenadas
devem ser menores que
.
Passo 3
Condição vinda de
.
Explicação didática em duas partes:
- A raiz quadrada
está definida (no conjunto dos números reais) apenas para . Aqui o radicando é , então precisaríamos de . - Porém, como a raiz aparece no denominador da fração
, não podemos ter denominador igual a zero (divisão por zero é proibida). Logo exigimos na prática que a raiz seja estritamente positiva: , o que equivale a .
Juntando os dois pontos, a condição correta e necessária é
Podemos reescrever essa desigualdade isolando
:
Passo 4
Combinação das condições.
Agora unimos as duas condições que achamos:
Escrever isso de forma compacta e clara: o domínio
é o conjunto dos pares
que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades. Em notação de conjunto:
Interpretação geométrica: é a região no plano formada por todos os pontos que estão acima da reta
(porque
) e abaixo da reta horizontal
(porque
). Observe que ambas as desigualdades são estritas, então as linhas
e
não pertencem ao domínio (devem ser desenhadas tracejadas no esboço).
Passo 5
Verificação com exemplos (boa prática para a prova).
- Teste de um ponto interior: tome
. Aqui e . Logo . O valor de está definido. - Teste de um ponto na fronteira
: . Aqui torna e a fração é proibida, então . - Teste de um ponto com
: . Aqui faz e não existe, então .
Esses testes ajudam a fixar a ideia de que as fronteiras não fazem parte do domínio.
Passo 6
Como esboçar o domínio (passo a passo para desenhar rápido na prova).
- Desenhe os eixos
e . - Desenhe a reta horizontal
como uma linha tracejada (não incluída). - Desenhe a reta diagonal
também tracejada (não incluída). - Sombreie a região que fica acima da reta
e abaixo da reta . Essa região se estende para a esquerda sem limite (pois para cada qualquer é permitido). - Marque um ponto de exemplo dentro (por exemplo
) para mostrar que a região está correta.
Pronto — esse é o esboço solicitado.