Questão 2 (1,5 pontos) Resolva:
Determine e esboce o domínio da função f(x, y)=\ln (1-y)+\frac{1}{\sqrt{y-x}}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar o domínio da função e esboçá-lo. A função dada é
f(x,y)=\ln(1-y)+\frac{1}{\sqrt{y-x}}.
As informações relevantes que o enunciado fornece (explicitamente pela fórmula) são: a presença de uma função logarítmica \ln(1-y) e de uma fração com raiz no denominador \dfrac{1}{\sqrt{y-x}}. A partir disso temos que impor as condições necessárias para que cada uma dessas expressões esteja bem definida (ou seja, sem argumento negativo no logaritmo, sem radicando negativo, e sem divisão por zero). A resolução começa a seguir.

Passo 2

Condição vinda do logaritmo \ln(1-y).
Explicação didática: a função logaritmo natural \ln(t) está definida somente para argumentos estritamente positivos, isto é, só faz sentido calcular \ln(t) quando t>0. Aqui o argumento é 1-y, portanto devemos exigir
1-y>0.
Agora resolvemos essa desigualdade em termos de y. Subtraindo 1 dos dois lados e multiplicando por -1 (lembrando que a desigualdade troca de sentido ao multiplicar por número negativo), ou mais simples: reescrevendo,
1-y>0 \quad\Longleftrightarrow\quad y<1.
Portanto a primeira condição é \;y<1. Isso significa que todas as coordenadas y devem ser menores que 1.

Passo 3

Condição vinda de \dfrac{1}{\sqrt{y-x}}.
Explicação didática em duas partes:
  1. A raiz quadrada \sqrt{t} está definida (no conjunto dos números reais) apenas para t\ge 0. Aqui o radicando é y-x, então precisaríamos de y-x\ge 0.
  2. Porém, como a raiz aparece no denominador da fração \dfrac{1}{\sqrt{y-x}}, não podemos ter denominador igual a zero (divisão por zero é proibida). Logo exigimos na prática que a raiz seja estritamente positiva: \sqrt{y-x}>0, o que equivale a y-x>0.
Juntando os dois pontos, a condição correta e necessária é
y-x>0.
Podemos reescrever essa desigualdade isolando x:
y-x>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x<y.

Passo 4

Combinação das condições.
Agora unimos as duas condições que achamos:
y<1 \quad\text{e}\quad x<y.
Escrever isso de forma compacta e clara: o domínio D é o conjunto dos pares (x,y) que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades. Em notação de conjunto:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x<y<1\}.
Interpretação geométrica: é a região no plano formada por todos os pontos que estão acima da reta y=x (porque x<y) e abaixo da reta horizontal y=1 (porque y<1). Observe que ambas as desigualdades são estritas, então as linhas y=x e y=1 não pertencem ao domínio (devem ser desenhadas tracejadas no esboço).

Passo 5

Verificação com exemplos (boa prática para a prova).
  • Teste de um ponto interior: tome (0,0{,}5). Aqui y=0{,}5<1 e x=0<0{,}5=y. Logo (0,0{,}5)\in D. O valor de f está definido.
  • Teste de um ponto na fronteira y-x=0: (0,0). Aqui y-x=0 torna \sqrt{y-x}=0 e a fração \dfrac{1}{0} é proibida, então (0,0)\notin D.
  • Teste de um ponto com y\ge 1: (0,1). Aqui y=1 faz 1-y=0 e \ln(0) não existe, então (0,1)\notin D.
Esses testes ajudam a fixar a ideia de que as fronteiras não fazem parte do domínio.

Passo 6

Como esboçar o domínio (passo a passo para desenhar rápido na prova).
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Desenhe a reta horizontal y=1 como uma linha tracejada (não incluída).
  3. Desenhe a reta diagonal y=x também tracejada (não incluída).
  4. Sombreie a região que fica acima da reta y=x e abaixo da reta y=1. Essa região se estende para a esquerda sem limite (pois para cada y<1 qualquer x<y é permitido).
  5. Marque um ponto de exemplo dentro (por exemplo (0,0{,}5)) para mostrar que a região está correta.
Pronto — esse é o esboço solicitado.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x<y<1\}

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