Encontre as soluções das EDOs de segunda ordem.
; y’
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais e pede a solução única que satisfaz essas condições. Informações fornecidas:
Objetivo: encontrar a função
que satisfaz a EDO e as duas condições iniciais.
Passo 2
Escolhemos o método padrão para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes: tentar uma solução da forma
. Substituindo em
obtemos a equação característica. Fazendo isso:
logo
Como
nunca é zero, dividimos e obtemos a equação característica
Passo 3
Resolva a equação característica:
Esses são raízes complexas conjugadas
com
e
. A teoria (que vou explicar de forma prática) diz que, para raízes
, a solução geral real é
Aqui
,
, então a solução geral é
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.
Explicação rápida do porquê: raízes
correspondem a soluções
e
. Usando a fórmula de Euler
, combinações lineares apropriadas dessas exponenciais produzem
e
, que são soluções reais independentes.
Passo 4
Agora precisamos das derivadas para aplicar as condições iniciais. Calcule
. Lembre que a derivada de
é
(pela regra da cadeia) e a derivada de
é
. Assim,
Passo 5
Aplique a primeira condição inicial
. Avaliando
em
:
Portanto
Passo 6
Aplique a segunda condição inicial
. Avaliando
em
:
Então
Passo 7
Substitua
e
na solução geral. Obtemos
Podemos fazer uma checagem rápida:
e
que confirma as condições iniciais.