Encontre as soluções das EDOs de segunda ordem.
Y^{\prime \prime}+9 y=0, y(0)=2; y’ (0)=-3

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais e pede a solução única que satisfaz essas condições. Informações fornecidas:
y'' + 9y = 0,
y(0)=2,
y'(0)=-3.
Objetivo: encontrar a função y(x) que satisfaz a EDO e as duas condições iniciais.

Passo 2

Escolhemos o método padrão para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes: tentar uma solução da forma y=e^{rx}. Substituindo em y''+9y=0 obtemos a equação característica. Fazendo isso:
y=e^{rx}\Rightarrow y''=r^2 e^{rx},
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r^2 e^{rx} + 9 e^{rx}=0.
Como e^{rx} nunca é zero, dividimos e obtemos a equação característica
r^2+9=0.

Passo 3

Resolva a equação característica:
r^2 = -9 \Rightarrow r = \pm 3i.
Esses são raízes complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta com \alpha=0 e \beta=3. A teoria (que vou explicar de forma prática) diz que, para raízes \alpha\pm i\beta, a solução geral real é
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\big).
Aqui \alpha=0, \beta=3, então a solução geral é
y(x)=C_1\cos 3x + C_2\sin 3x,
onde C_1 e C_2 são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.
Explicação rápida do porquê: raízes \pm 3i correspondem a soluções e^{3ix} e e^{-3ix}. Usando a fórmula de Euler e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta, combinações lineares apropriadas dessas exponenciais produzem \cos 3x e \sin 3x, que são soluções reais independentes.

Passo 4

Agora precisamos das derivadas para aplicar as condições iniciais. Calcule y'(x). Lembre que a derivada de \cos(3x) é -3\sin(3x) (pela regra da cadeia) e a derivada de \sin(3x) é 3\cos(3x). Assim,
y'(x) = -3 C_1 \sin 3x + 3 C_2 \cos 3x.

Passo 5

Aplique a primeira condição inicial y(0)=2. Avaliando y em x=0:
y(0) = C_1\cos 0 + C_2\sin 0 = C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 = C_1.
Portanto
C_1 = 2.

Passo 6

Aplique a segunda condição inicial y'(0)=-3. Avaliando y' em x=0:
y'(0) = -3 C_1 \sin 0 + 3 C_2 \cos 0 = -3 C_1\cdot 0 + 3 C_2\cdot 1 = 3 C_2.
Então
3 C_2 = -3 \Rightarrow C_2 = -1.

Passo 7

Substitua C_1 e C_2 na solução geral. Obtemos
y(x)=2\cos 3x - \sin 3x.
Podemos fazer uma checagem rápida: y(0)=2 e
y'(x)=-6\sin 3x - 3\cos 3x \Rightarrow y'(0)=-3,
que confirma as condições iniciais.

Resposta

y(x)=2\cos 3x - \sin 3x

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