Um sistema massa-mola com amortecimento viscoso possui massa \mathrm{m}=2 \mathrm{~kg}, constante elástica \mathrm{k}=18 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e coeficiente de amortecimento. O movimento é descrito pela EDO:
m y^{\prime \prime}+12 y^{\prime}+k y=0
Encontre a equação horária do movimento e classifique o tipo de amortecimento.

Passo 1

O enunciado dá um sistema massa-mola amortecido e fornece os seguintes dados e pedido:
  • Dados do problema:
    m=2\\ \text{kg},
    a equação do movimento é
    m\,y''+12\,y'+k\,y=0,
    e a constante elástica é
    k=18\\ \text{N/m}.
    (Retirei o coeficiente do termo em y' diretamente da equação: ele é 12.)
  • Perguntas que o enunciado faz:
    1. Encontrar a equação horária do movimento (isto é, a solução geral y(t) da EDO homogênea).
    2. Classificar o tipo de amortecimento (subamortecido, criticamente amortecido ou sobreamortecido).

Passo 2

Colocar a EDO na forma padrão dividindo por m. Isso facilita identificar os coeficientes normalizados. Começo dividindo toda a equação por m=2:
m\,y''+12\,y'+k\,y=0 \Longrightarrow y''+\frac{12}{m}\,y'+\frac{k}{m}\,y=0.
Substituindo m=2 e k=18 obtemos:
y''+\frac{12}{2}\,y'+\frac{18}{2}\,y=0.
Calculando as frações:
y''+6\,y'+9\,y=0.
Explicação didática: escrever a EDO como y''+2\gamma y'+\omega_0^2 y=0 é comum; aqui encontramos os coeficientes numéricos que vamos usar para resolver.

Passo 3

Resolver a EDO homogênea por tentativa exponencial: procuramos soluções da forma y(t)=e^{r t}. Substituindo na EDO obtemos a equação característica (polinomial) em r:
r^2+6r+9=0.
Motivação: quando substituímos y=e^{rt}, temos y'=r e^{rt} e y''=r^2 e^{rt}; cancelar e^{rt} (não nulo) leva ao polinômio acima. Resolver esse polinômio dá-nos as exponenciais que compõem a solução geral.

Passo 4

Calcular o discriminante da equação quadrática para saber o tipo de raízes:
\Delta = b^2-4ac = 6^2-4\cdot 1\cdot 9 = 36-36 = 0.
Como \Delta=0, temos uma raiz real dupla. Encontramos a raiz:
r = \frac{-6}{2} = -3.
Interpretação: as duas raízes coincidem em r=-3.

Passo 5

Quando a equação característica tem uma raiz real dupla r_1=r_2=r, a forma geral da solução da EDO de segunda ordem homogênea é
y(t)=(C_1 + C_2 t)e^{r t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais. Aplicando isso com r=-3 obtemos a solução geral:
y(t)=(C_1 + C_2 t)e^{-3t}.
Explicação didática do motivo: para uma raiz dupla a segunda solução independente é t e^{r t}; isso garante duas soluções linearmente independentes necessárias para cobrir o espaço das soluções da EDO de segunda ordem.

Passo 6

Classificação do amortecimento. Podemos usar duas formas de verificação:
  1. Pelo discriminante: \Delta=0 indica exatamente amortecimento crítico (raízes reais iguais, retorno ao equilíbrio sem oscilações e de forma tão rápida quanto possível sem oscilar).
  2. Pelo coeficiente adimensional chamado razão de amortecimento \zeta, definido por
\zeta = \frac{c}{2\sqrt{km}},
onde c é o coeficiente de amortecimento na forma m y'' + c y' + k y = 0. Aqui c=12, k=18 e m=2, então
\zeta = \frac{12}{2\sqrt{18\cdot 2}} = \frac{12}{2\sqrt{36}} = \frac{12}{2\cdot 6} = \frac{12}{12}=1.
Quando \zeta=1 temos amortecimento crítico. Para lembrar: \zeta<1 é subamortecido (oscilações amortecidas), \zeta=1 crítico (sem oscilações, raiz dupla), \zeta>1 sobreamortecido (sem oscilações, duas raízes reais distintas e negativas).

Passo 7

Resumo do que encontramos e observação física: a solução geral já está escrita em termos de constantes arbitrárias C_1,C_2, que seriam fixadas por condições iniciais y(0) e y'(0). Fisicamente, por ser amortecimento crítico, o sistema volta ao equilíbrio sem oscilar e da forma mais rápida possível sem ultrapassar o equilíbrio.

Resposta

y(t)=(C_{1}+C_{2}\,t)e^{-3t}
Amortecimento crítico ( \zeta=1).

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