Um sistema massa-mola com amortecimento viscoso possui massa
, constante elástica
e coeficiente de amortecimento. O movimento é descrito pela EDO:
Encontre a equação horária do movimento e classifique o tipo de amortecimento.
Passo 1
O enunciado dá um sistema massa-mola amortecido e fornece os seguintes dados e pedido:
-
Dados do problema:a equação do movimento ée a constante elástica é(Retirei o coeficiente do termo em
diretamente da equação: ele é .) -
Perguntas que o enunciado faz:
- Encontrar a equação horária do movimento (isto é, a solução geral
da EDO homogênea). - Classificar o tipo de amortecimento (subamortecido, criticamente amortecido ou sobreamortecido).
- Encontrar a equação horária do movimento (isto é, a solução geral
Passo 2
Colocar a EDO na forma padrão dividindo por
. Isso facilita identificar os coeficientes normalizados. Começo dividindo toda a equação por
:
Substituindo
e
obtemos:
Calculando as frações:
Explicação didática: escrever a EDO como
é comum; aqui encontramos os coeficientes numéricos que vamos usar para resolver.
Passo 3
Resolver a EDO homogênea por tentativa exponencial: procuramos soluções da forma
. Substituindo na EDO obtemos a equação característica (polinomial) em
:
Motivação: quando substituímos
, temos
e
; cancelar
(não nulo) leva ao polinômio acima. Resolver esse polinômio dá-nos as exponenciais que compõem a solução geral.
Passo 4
Calcular o discriminante da equação quadrática para saber o tipo de raízes:
Como
, temos uma raiz real dupla. Encontramos a raiz:
Interpretação: as duas raízes coincidem em
.
Passo 5
Quando a equação característica tem uma raiz real dupla
, a forma geral da solução da EDO de segunda ordem homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais. Aplicando isso com
obtemos a solução geral:
Explicação didática do motivo: para uma raiz dupla a segunda solução independente é
; isso garante duas soluções linearmente independentes necessárias para cobrir o espaço das soluções da EDO de segunda ordem.
Passo 6
Classificação do amortecimento. Podemos usar duas formas de verificação:
-
Pelo discriminante:
indica exatamente amortecimento crítico (raízes reais iguais, retorno ao equilíbrio sem oscilações e de forma tão rápida quanto possível sem oscilar). -
Pelo coeficiente adimensional chamado razão de amortecimento
, definido por
onde
é o coeficiente de amortecimento na forma
. Aqui
,
e
, então
Quando
temos amortecimento crítico. Para lembrar:
é subamortecido (oscilações amortecidas),
crítico (sem oscilações, raiz dupla),
sobreamortecido (sem oscilações, duas raízes reais distintas e negativas).
Passo 7
Resumo do que encontramos e observação física: a solução geral já está escrita em termos de constantes arbitrárias
, que seriam fixadas por condições iniciais
e
. Fisicamente, por ser amortecimento crítico, o sistema volta ao equilíbrio sem oscilar e da forma mais rápida possível sem ultrapassar o equilíbrio.
Resposta
Amortecimento crítico (
).