Questāo 4 (2,5 pontos) Resolva o problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
com condição inicial
Informações que temos (vou listar exatamente as peças com que vamos trabalhar):
- A equação está na forma
, com - Queremos encontrar uma função
que satisfaça a equação diferencial e a condição .
Passo 2
Verificar se a equação é exata (isto ajuda muito porque aí existe uma função potencial
tal que
).
Definição prática: a equação
é exata se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
Calculemos as parciais (faço devagar para ficar claro):
Como as duas derivadas são iguais, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que
Passo 3
Encontrar a função potencial
. Para isso, integro
em relação a
(tratando
como constante) e acrescento uma função arbitrária
que aparece porque a integração foi em
:
Calculo explícito da integral (expandindo o quadrado para facilitar):
Integrando termo a termo em
:
onde
é uma função a determinar.
Portanto
Passo 4
Determinar
usando a condição
.
Calculo
:
Igualo isso a
:
Cancelam os termos
dos dois lados, sobrando
Integro em
:
onde
é uma constante (que depois será absorvida na constante da solução geral).
Substituindo em
:
A equação implícita geral da família de curvas solução é
. Podemos escrever a solução geral como
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 5
Determinar a constante
usando a condição inicial
. Substituo
e
na expressão de
:
Logo
.
Assim a solução implícita com a constante ajustada é
Passo 6
Se for conveniente ter
explicitamente em função de
, podemos resolver a relação implícita como uma equação quadrática em
. Reescrevendo:
Isto é uma quadrática do tipo
com
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Para escolher o sinal correto (o ramo que satisfaz a condição inicial
), avalio em
. O discriminante em
vale
, e as duas possibilidades dão
para o sinal
e
para o sinal
. Portanto o ramo que corresponde à condição inicial é o sinal
. Assim uma forma explícita da solução (no ramo que passa por
) é