(2,5) Questāo 4 (2,5 pontos) Resolva o problema de valor inicial dado.
(x+y)^{2} d x+\left(2 x y+x^{2}-1\right) d y=0, y(1)=1 .

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
(x+y)^{2}\,dx+\left(2xy+x^{2}-1\right)\,dy=0
com condição inicial
y(1)=1.
Informações que temos (vou listar exatamente as peças com que vamos trabalhar):
  • A equação está na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, com M(x,y)=(x+y)^{2},\qquad N(x,y)=2xy+x^{2}-1.
  • Queremos encontrar uma função y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição y(1)=1.

Passo 2

Verificar se a equação é exata (isto ajuda muito porque aí existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que d\Phi=M\,dx+N\,dy).
Definição prática: a equação M\,dx+N\,dy=0 é exata se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos as parciais (faço devagar para ficar claro):
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x+y)^{2}=2(x+y),
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2xy+x^{2}-1)=2y+2x=2(x+y).
Como as duas derivadas são iguais, a equação é exata. Isso significa que existe uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).

Passo 3

Encontrar a função potencial \Phi(x,y). Para isso, integro M em relação a x (tratando y como constante) e acrescento uma função arbitrária h(y) que aparece porque a integração foi em x:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int (x+y)^{2}\,dx.
Calculo explícito da integral (expandindo o quadrado para facilitar):
(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.
Integrando termo a termo em x:
\int (x^{2}+2xy+y^{2})\,dx=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.
Portanto
\Phi(x,y)=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+h(y).

Passo 4

Determinar h(y) usando a condição \partial\Phi/\partial y = N(x,y).
Calculo \partial\Phi/\partial y:
\frac{\partial\Phi}{\partial y}=x^{2}+2xy+h'(y).
Igualo isso a N(x,y)=2xy+x^{2}-1:
x^{2}+2xy+h'(y)=2xy+x^{2}-1.
Cancelam os termos x^{2}+2xy dos dois lados, sobrando
h'(y)=-1.
Integro em y:
h(y)=-y + C_0,
onde C_0 é uma constante (que depois será absorvida na constante da solução geral).
Substituindo em \Phi:
\Phi(x,y)=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}y+xy^{2}-y + C_0.
A equação implícita geral da família de curvas solução é \Phi(x,y)=\text{constante}. Podemos escrever a solução geral como
\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}y+xy^{2}-y=C,
onde C é uma constante arbitrária.

Passo 5

Determinar a constante C usando a condição inicial y(1)=1. Substituo x=1 e y=1 na expressão de \Phi:
\Phi(1,1)=\frac{1}{3}\cdot 1^{3}+1^{2}\cdot 1+1\cdot 1^{2}-1 = \frac{1}{3}+1+1-1=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}.
Logo C=\dfrac{4}{3}.
Assim a solução implícita com a constante ajustada é
\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}y+xy^{2}-y=\frac{4}{3}.

Passo 6

Se for conveniente ter y explicitamente em função de x, podemos resolver a relação implícita como uma equação quadrática em y. Reescrevendo:
xy^{2}+(x^{2}-1)y+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{4}{3}=0.
Isto é uma quadrática do tipo A y^{2}+B y + C_0=0 com
A=x,\qquad B=x^{2}-1,\qquad C_0=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{4}{3}.
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
y(x)=\frac{-(x^{2}-1)\pm\sqrt{(x^{2}-1)^{2}-4x\bigl(\tfrac{1}{3}x^{3}-\tfrac{4}{3}\bigr)}}{2x}.
Para escolher o sinal correto (o ramo que satisfaz a condição inicial y(1)=1), avalio em x=1. O discriminante em x=1 vale 4, e as duas possibilidades dão y(1)=1 para o sinal + e y(1)=-1 para o sinal -. Portanto o ramo que corresponde à condição inicial é o sinal +. Assim uma forma explícita da solução (no ramo que passa por (1,1)) é
y(x)=\frac{-(x^{2}-1)+\sqrt{(x^{2}-1)^{2}-\tfrac{4x}{3}\bigl(x^{3}-4\bigr)}}{2x}.

Resposta

\dfrac{1}{3}x^{3}+x^{2}y+xy^{2}-y=\dfrac{4}{3}
y(x)=\frac{-(x^{2}-1)+\sqrt{(x^{2}-1)^{2}-\tfrac{4x}{3}\bigl(x^{3}-4\bigr)}}{2x}

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