Questāo 2 (2,5 pontos) Resolva a equaçāo diferencial dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a resolvamos (encontrar a família de soluções gerais). Informações dadas:
- A equação relaciona a derivada de
com uma função exponencial de e . - Não foi dada condição inicial, então devemos obter a solução geral com uma constante arbitrária.
Passo 2
Observação sobre o tipo de equação (explicação didática): a expressão do lado direito pode ser separada em fator que depende só de
e fator que depende só de
porque
Quando uma equação tem a forma
diz-se que é separável: podemos agrupar termos com
de um lado e termos com
do outro. Aqui isso é possível porque
é sempre positivo, então podemos dividir por ele sem problemas. Vamos separar as variáveis:
Passo 3
Agora integramos ambos os lados em relação às suas variáveis. Escrevendo o passo de integração:
Vou mostrar como calcular cada integral de forma clara: para a integral à esquerda, note que a derivada de
em relação a
é
. Assim,
onde
é uma constante de integração. Para a integral à direita, a derivada de
em relação a
é
, então
Passo 4
Igualando as duas primitivadas (podemos absorver uma constante numa só), obtemos
onde
é uma constante arbitrária (resultante de
). Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
onde
é outra constante arbitrária (pode assumir qualquer valor real).
Passo 5
Forma implícita de solução: a relação acima já é uma forma implícita aceitável da solução geral:
Essa é uma boa forma porque evidencia a constante de integração e não exige tomar logaritmo (útil quando se quer permitir
qualquer real).
Passo 6
Se quisermos a solução explícita
, isolamos
. A partir de
tomamos logaritmo natural (lembre que isso exige que o lado direito seja positivo; falarei disso logo) e obtemos
portanto
Passo 7
Observações sobre a constante e domínio (didática importante para a prova): a constante
é arbitrária. Para a forma explícita
usando o
faz sentido somente onde
isto é, para valores de
tais que a expressão dentro do logaritmo seja positiva. Se não quiser lidar com essa restrição, use a forma implícita
que é válida sem a necessidade de tomar logaritmo (a constante
pode ser qualquer número real).
Passo 8
Exemplo rápido de uso (para fixar a ideia): se houvesse a condição inicial
, calcula-se
substituindo
e
na forma implícita:
Então a solução explícita com essa condição seria
definida onde
.
Resposta
ou, de forma explícita,
com
constante arbitrária (domínio:
para a forma explícita).