(2,5) Questāo 2 (2,5 pontos) Resolva a equaçāo diferencial dada.
\frac{d y}{d x}=e^{3 x+2 y} .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=e^{3 x+2 y}
e pede que a resolvamos (encontrar a família de soluções gerais). Informações dadas:
  • A equação relaciona a derivada de y com uma função exponencial de x e y.
  • Não foi dada condição inicial, então devemos obter a solução geral com uma constante arbitrária.

Passo 2

Observação sobre o tipo de equação (explicação didática): a expressão do lado direito pode ser separada em fator que depende só de x e fator que depende só de y porque
e^{3x+2y}=e^{3x}\,e^{2y}.
Quando uma equação tem a forma \dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y) diz-se que é separável: podemos agrupar termos com y de um lado e termos com x do outro. Aqui isso é possível porque e^{2y} é sempre positivo, então podemos dividir por ele sem problemas. Vamos separar as variáveis:
\frac{dy}{dx}=e^{3x}e^{2y} \quad\Longrightarrow\quad e^{-2y}\,dy = e^{3x}\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados em relação às suas variáveis. Escrevendo o passo de integração:
\int e^{-2y}\,dy = \int e^{3x}\,dx.
Vou mostrar como calcular cada integral de forma clara: para a integral à esquerda, note que a derivada de e^{-2y} em relação a y é -2e^{-2y}. Assim,
\int e^{-2y}\,dy = -\tfrac{1}{2}e^{-2y} + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração. Para a integral à direita, a derivada de e^{3x} em relação a x é 3e^{3x}, então
\int e^{3x}\,dx = \tfrac{1}{3}e^{3x} + C_2.

Passo 4

Igualando as duas primitivadas (podemos absorver uma constante numa só), obtemos
-\tfrac{1}{2}e^{-2y} = \tfrac{1}{3}e^{3x} + C,
onde C é uma constante arbitrária (resultante de C_2-C_1). Multiplicando ambos os lados por -2 para simplificar:
e^{-2y} = C' - \tfrac{2}{3}e^{3x},
onde C' = -2C é outra constante arbitrária (pode assumir qualquer valor real).

Passo 5

Forma implícita de solução: a relação acima já é uma forma implícita aceitável da solução geral:
e^{-2y} + \tfrac{2}{3}e^{3x} = C'.
Essa é uma boa forma porque evidencia a constante de integração e não exige tomar logaritmo (útil quando se quer permitir C' qualquer real).

Passo 6

Se quisermos a solução explícita y=y(x), isolamos y. A partir de
e^{-2y} = C' - \tfrac{2}{3}e^{3x},
tomamos logaritmo natural (lembre que isso exige que o lado direito seja positivo; falarei disso logo) e obtemos
-2y = \ln\!\bigl(C' - \tfrac{2}{3}e^{3x}\bigr),
portanto
y(x) = -\tfrac{1}{2}\ln\!\bigl(C' - \tfrac{2}{3}e^{3x}\bigr).

Passo 7

Observações sobre a constante e domínio (didática importante para a prova): a constante C' é arbitrária. Para a forma explícita y(x) usando o \ln faz sentido somente onde
C' - \tfrac{2}{3}e^{3x} > 0,
isto é, para valores de x tais que a expressão dentro do logaritmo seja positiva. Se não quiser lidar com essa restrição, use a forma implícita
e^{-2y} + \tfrac{2}{3}e^{3x} = C',
que é válida sem a necessidade de tomar logaritmo (a constante C' pode ser qualquer número real).

Passo 8

Exemplo rápido de uso (para fixar a ideia): se houvesse a condição inicial y(0)=0, calcula-se C' substituindo x=0 e y=0 na forma implícita:
e^{0} + \tfrac{2}{3}e^{0} = C' \quad\Rightarrow\quad 1 + \tfrac{2}{3} = C' = \tfrac{5}{3}.
Então a solução explícita com essa condição seria
y(x) = -\tfrac{1}{2}\ln\!\bigl(\tfrac{5}{3} - \tfrac{2}{3}e^{3x}\bigr),
definida onde \tfrac{5}{3}-\tfrac{2}{3}e^{3x}>0.

Resposta

e^{-2y} + \tfrac{2}{3}e^{3x} = C'
ou, de forma explícita,
y(x) = -\tfrac{1}{2}\ln\!\bigl(C' - \tfrac{2}{3}e^{3x}\bigr),
com C' constante arbitrária (domínio: C' - \tfrac{2}{3}e^{3x}>0 para a forma explícita).

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