(0.5) Questāo 3 (2,5 pontos) Ache a soluçāo geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede: “Ache a solução geral da equação diferencial dada”. A equação fornecida é
Informações relevantes do enunciado:
- A incógnita é a função
. - A equação envolve
, ou seja, derivada primeira de . - Os coeficientes dependem em
: há o termo e o termo fonte . - A tarefa é obter a solução geral, isto é, a família de soluções com constante arbitrária.
Passo 2
Identificar o tipo da equação (sem usar nomes formais demais): é uma equação envolvendo
e
com coeficientes que são funções de
. Há uma técnica padrão muito prática para esse caso: multiplicar por um fator que transforma o lado esquerdo numa derivada do produto entre esse fator e
. Esse fator é chamado de fator integrante. Vou explicar direitinho como construir e usar esse fator.
Para uma equação da forma
o fator integrante
é dado por
Aqui
é a função que multiplica
(no nosso caso
) e
é o termo do lado direito (no nosso caso
). A ideia é que, após multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torna a derivada de
:
Isso transforma a equação diferencial numa integral simples.
Passo 3
Calcular o fator integrante aplicando a fórmula acima com
:
Calcule a integral:
mas a constante de integração pode ser desprezada no expoente do fator integrante (multiplicar
por uma constante não altera a técnica), então podemos usar
Passo 4
Multiplicar a equação original por
:
Agora observar que a combinação do lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Para ver isso, calcule a derivada:
E
então
que é exatamente o lado esquerdo da equação multiplicada.
Portanto podemos reescrever a equação como
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Então
onde
é a constante de integração que aparece ao integrar.
Passo 6
Calcular a integral
. Aqui é uma integral perfeita para substituição. Fazemos:
Substituindo:
Voltando a
:
Na equação do Passo 5 já temos uma constante geral
, então podemos incorporar
nessa constante única.
Passo 7
Substituindo o resultado da integral em
, obtemos
Agora isolamos
dividindo por
(que nunca é zero):
Aqui
é uma constante arbitrária real, que representa a família de soluções gerais da equação diferencial.
Passo 8
Pequena verificação (opcional, mas útil na prova): derivando a solução encontrada para checar se satisfaz a equação original. Seja
. Então
Calcule
:
que coincide com o lado direito da equação dada. Logo a solução está correta.