(0.5) Questāo 3 (2,5 pontos) Ache a soluçāo geral da equação diferencial dada.
y^{\prime}+3 x^{2} y=x^{2} .

Passo 1

O enunciado pede: “Ache a solução geral da equação diferencial dada”. A equação fornecida é
y^{\prime}+3 x^{2} y=x^{2}.
Informações relevantes do enunciado:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação envolve y^{\prime}, ou seja, derivada primeira de y.
  • Os coeficientes dependem em x: há o termo 3x^{2}y e o termo fonte x^{2}.
  • A tarefa é obter a solução geral, isto é, a família de soluções com constante arbitrária.

Passo 2

Identificar o tipo da equação (sem usar nomes formais demais): é uma equação envolvendo y' e y com coeficientes que são funções de x. Há uma técnica padrão muito prática para esse caso: multiplicar por um fator que transforma o lado esquerdo numa derivada do produto entre esse fator e y. Esse fator é chamado de fator integrante. Vou explicar direitinho como construir e usar esse fator.
Para uma equação da forma
y'+P(x)\,y=Q(x),
o fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Aqui P(x) é a função que multiplica y (no nosso caso P(x)=3x^{2}) e Q(x) é o termo do lado direito (no nosso caso Q(x)=x^{2}). A ideia é que, após multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torna a derivada de \mu(x)\,y:
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big)=\mu(x)\,Q(x).
Isso transforma a equação diferencial numa integral simples.

Passo 3

Calcular o fator integrante aplicando a fórmula acima com P(x)=3x^{2}:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int 3x^{2}\,dx\Big).
Calcule a integral:
\int 3x^{2}\,dx = x^{3} + C,
mas a constante de integração pode ser desprezada no expoente do fator integrante (multiplicar \mu por uma constante não altera a técnica), então podemos usar
\mu(x)=\exp\!\big(x^{3}\big)=e^{x^{3}}.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{x^{3}}:
e^{x^{3}}y^{\prime}+3x^{2}e^{x^{3}}y = x^{2}e^{x^{3}}.
Agora observar que a combinação do lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{x^{3}}y. Para ver isso, calcule a derivada:
\frac{d}{dx}\big(e^{x^{3}}y\big) = \big(e^{x^{3}}\big)'\,y + e^{x^{3}}y'.
E
\big(e^{x^{3}}\big)' = e^{x^{3}}\cdot (x^{3})' = e^{x^{3}}\cdot 3x^{2},
então
\frac{d}{dx}\big(e^{x^{3}}y\big) = 3x^{2}e^{x^{3}}y + e^{x^{3}}y',
que é exatamente o lado esquerdo da equação multiplicada.
Portanto podemos reescrever a equação como
\frac{d}{dx}\big(e^{x^{3}}y\big) = x^{2}e^{x^{3}}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{x^{3}}y\big)\,dx = \int x^{2}e^{x^{3}}\,dx.
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^{x^{3}}y. Então
e^{x^{3}}y = \int x^{2}e^{x^{3}}\,dx + C,
onde C é a constante de integração que aparece ao integrar.

Passo 6

Calcular a integral \displaystyle \int x^{2}e^{x^{3}}\,dx. Aqui é uma integral perfeita para substituição. Fazemos:
u = x^{3}\quad\Rightarrow\quad du = 3x^{2}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.
Substituindo:
\int x^{2}e^{x^{3}}\,dx = \int e^{u}\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int e^{u}\,du = \frac{1}{3}e^{u} + C_1.
Voltando a x:
\int x^{2}e^{x^{3}}\,dx = \frac{1}{3}e^{x^{3}} + C_1.
Na equação do Passo 5 já temos uma constante geral C, então podemos incorporar C_1 nessa constante única.

Passo 7

Substituindo o resultado da integral em e^{x^{3}}y = \displaystyle \int x^{2}e^{x^{3}}\,dx + C, obtemos
e^{x^{3}}y = \frac{1}{3}e^{x^{3}} + C.
Agora isolamos y dividindo por e^{x^{3}} (que nunca é zero):
y = \frac{1}{3} + C e^{-x^{3}}.
Aqui C é uma constante arbitrária real, que representa a família de soluções gerais da equação diferencial.

Passo 8

Pequena verificação (opcional, mas útil na prova): derivando a solução encontrada para checar se satisfaz a equação original. Seja y(x)=\dfrac{1}{3}+C e^{-x^{3}}. Então
y' = C\cdot\big(e^{-x^{3}}\big)' = C e^{-x^{3}}\cdot(-3x^{2}) = -3x^{2}C e^{-x^{3}}.
Calcule y'+3x^{2}y:
y'+3x^{2}y = -3x^{2}C e^{-x^{3}} + 3x^{2}\Big(\frac{1}{3}+C e^{-x^{3}}\Big) = -3x^{2}C e^{-x^{3}} + x^{2} + 3x^{2}C e^{-x^{3}} = x^{2},
que coincide com o lado direito da equação dada. Logo a solução está correta.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{3}+C e^{-x^{3}}, onde C é uma constante arbitrária.

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