Questão 1 (2,0 pontos)
Resolva o PVI utilizando um fator integrante que só depende de x e determine o intervalo máximo definição da solução:
3 x^2-y^2+2 x y y^prime=0 y(1)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
3x^2-y^2+2xy,y'=0,
com y(1)=-1, usando um fator integrante que dependa só de x, e em seguida determinar o maior intervalo em que a solução existe. O conteúdo envolvido é equações diferenciais de primeira ordem não-exatas, que se tornam exatas após multiplicação por um fator integrante mu(x).

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação na forma
M(x,y)+N(x,y),y'=0,
onde
M(x,y)=3x^2-y^2, N(x,y)=2xy
Calculamos
partial Mpartial y=-2y, partial Npartial x=2y,
e avaliamos
partial Mpartial y-partial Npartial xN =-2y-2y2xy=-4y2xy=-2x,
que depende apenas de x. Logo existe mu(x).

Passo 3

O fator integrante mu(x) satisfaz
mu'(x)mu(x) =-2x Longrightarrow lnmu(x)=-2ln x+C Longrightarrow mu(x)=x^-2
(omitimos constante multiplicativa que não altera a exatidão).

Passo 4

Multiplicamos a equação original por x^-2, obtendo
l(3x^2-y^2r)x^-2 +l(2xyr)x^-2,y'=0 Longrightarrow l(3 - y^2x^-2r) +l(2yx^-1r),y'=0
Essa é exata, pois
partialpartial yl(3 - y^2x^-2r) =-2y,x^-2, partialpartial xl(2yx^-1r) =-2y,x^-2
Procuramos phi(x,y) tal que
partialphipartial x =3 - y^2x^-2 Longrightarrow phi(x,y)=3x+integral(-y^2x^-2),dx =3x+y^2x^-1+h(y)
Derivando em y e igualando a 2yx^-1 h'(y)=0. Logo a equação implícita é
phi(x,y)=3x+y^2x=C

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(1)=-1:
3cdot1+(-1)^21=C Longrightarrow 3+1=C Longrightarrow C=4
A solução implícita fica
3x+y^2x=4 Longrightarrow y^2=4x-3x^2,
e, para atender y(1)=-1, escolhemos o ramo negativo:
y(x)=-raiz4x-3x^2

Passo 6

Para que y(x) seja real precisamos 4x-3x^2>0, isto é
x(4-3x)>0 Longrightarrow 0<x<43
O ponto inicial x=1 pertence a esse intervalo, e nos extremos a derivada explode. Portanto o maior intervalo de existência da solução que passa por (1,-1) é
l(0,tfrac43r)

Resposta

A solução do PVI é
y(x)=-raiz4x-3x^2,
definida no intervalo máximo
0<x<tfrac43

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