Questão 1 (2,0 pontos)
Resolva o PVI utilizando um fator integrante que só depende de
e determine o intervalo máximo definição da solução:
Resolva o PVI utilizando um fator integrante que só depende de
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
com
, usando um fator integrante que dependa só de
, e em seguida determinar o maior intervalo em que a solução existe. O conteúdo envolvido é equações diferenciais de primeira ordem não-exatas, que se tornam exatas após multiplicação por um fator integrante
.
Passo 2
Primeiro escrevemos a equação na forma
onde
Calculamos
e avaliamos
que depende apenas de
. Logo existe
.
Passo 3
O fator integrante
satisfaz
(omitimos constante multiplicativa que não altera a exatidão).
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
Essa é exata, pois
Procuramos
tal que
Derivando em
e igualando a
dá
. Logo a equação implícita é
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
:
A solução implícita fica
e, para atender
, escolhemos o ramo negativo:
Passo 6
Para que
seja real precisamos
, isto é
O ponto inicial
pertence a esse intervalo, e nos extremos a derivada explode. Portanto o maior intervalo de existência da solução que passa por
é
Resposta
A solução do PVI é
definida no intervalo máximo