(1,0) Resolva cada um dos itens abaixo, relacionados à conceitos topológicos:
O conjunto
é compacto? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define
e pergunta se
é compacto. Vamos usar o Teorema de Heine–Borel na reta: um subconjunto de
é compacto se, e somente se, for fechado e limitado.
Passo 2
Defina a função
Como
,
e
são contínuas em seus domínios, e composições de funções contínuas são contínuas, concluímos que
é contínua em
.
Passo 3
Observe que
O intervalo
é fechado em
, logo
é fechado em
. Como
também é fechado,
é fechado em
.
Passo 4
Além disso
, logo
é limitado. Temos então que
é fechado e limitado em
, e pelo Teorema de Heine–Borel segue que
é compacto.
Resposta
Sim.
é compacto porque é um subconjunto fechado e limitado de
.