(1,0) Resolva cada um dos itens abaixo, relacionados à conceitos topológicos:
(0,2) O conjunto S=x in[0,1] ; e^x cos raizx^2+1 <= 1 é compacto? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define
S = ,xin[0,1]mid e^xcosraizx^2+1<=1
e pergunta se S é compacto. Vamos usar o Teorema de Heine–Borel na reta: um subconjunto de R é compacto se, e somente se, for fechado e limitado.

Passo 2

Defina a função
fcolon[0,1]toR, f(x)=e^xcosl(raizx^2+1r)
Como e^x, cos(cdot) e raizcdot são contínuas em seus domínios, e composições de funções contínuas são contínuas, concluímos que f é contínua em [0,1].

Passo 3

Observe que
S=,xin[0,1]mid f(x)<=1 =f^-1l((-infty,1]r)cap[0,1]
O intervalo (-infty,1] é fechado em R, logo f^-1((-infty,1]) é fechado em [0,1]. Como [0,1] também é fechado, S é fechado em R.

Passo 4

Além disso Ssubset[0,1], logo S é limitado. Temos então que S é fechado e limitado em R, e pelo Teorema de Heine–Borel segue que S é compacto.

Resposta

Sim. S é compacto porque é um subconjunto fechado e limitado de R.

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