Questão 1 (5 pontos)
Considere a equação diferencial ordinária (EDO) não linear abaixo:
a) (1 ponto) Esta EDO é uma equação separável? Justifique.
b) (2 pontos) Resolva a equação de acordo com a resposta do item (a).
c) (2 pontos) Estude a equação e determine em que região do plano
o Teorema de Existência e Unicidade (TEU) de solução falha.
a) (1 ponto) Esta EDO é uma equação separável? Justifique.
b) (2 pontos) Resolva a equação de acordo com a resposta do item (a).
c) (2 pontos) Estude a equação e determine em que região do plano
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- A equação diferencial dada é
. - O enunciado pede:
(a) dizer se a EDO é separável e justificar;
(b) resolver a equação de acordo com a resposta do item (a);
(c) estudar a equação e determinar em que região do planoo Teorema de Existência e Unicidade (TEU) falha.
Informações relevantes que já estão no enunciado e que vou usar: a fórmula da EDO (já escrita aí em cima) e os pontos onde aparecem denominadores (possíveis singularidades):
é uma condição que surge do denominador.
Passo 2
Responder à parte (a): o que significa “ser separável” e aplicar ao caso.
- Definição prática: uma EDO na forma
é separável se pode ser escrita como um produto de uma função que depende só de por outra que depende só de , isto é . Nesse caso podemos escrever e integrar. - Para a EDO dada temos
Aqui podemos ver , ou seja é um produto de (só depende de ) por (só depende de ). - Conclusão da parte (a): Sim, a EDO é separável porque pode ser escrita na forma
com e .
Passo 3
Início da resolução pela separação de variáveis (parte b). Colocar os termos em
de um lado e em
do outro:
- A separação dá
- Agora integrar ambos os lados. Vamos fazer a integral em
com calma: . Esse integrando é uma razão de polinômios; uma forma prática é fazer divisão polinomial (ou decomposição) para facilitar a integração.
Passo 4
Executando a divisão polinomial para integrar
. Vou escrever o numerador como
para a divisão por
:
- Dividindo
por : o quociente é e o resto é . Ou seja (Verificação rápida: , que é .) - Portanto a integral fica a soma de integrais simples:
Passo 5
Calcular cada integral explicitamente, explicando cada passo elementar (fórmulas usadas):
-
. (Regra: .) -
. (Constante vezes .) -
. (Regra: e aqui .) - Somando:
Passo 6
Integrar o lado em
e montar a relação implícita geral:
- O lado direito era
. - Igualando as integrais (absorvendo constantes numa só constante
) obtemos a solução implícita geral - Podemos reescrever, se preferir, isolando a constante do outro lado:
Mas atenção: essa é uma solução implícita. Não é possível, em termos elementares, resolver explicitamente para por uma fórmula fechada porque o aparece polinomialmente e também dentro do .
Passo 7
Analisar soluções singulares/excepcionais que a separação pode ter escondido: solução constante
.
- Note que se
então e a EDO dá (pois o numerador fica zero), logo é solução constante. - Ao separar e integrar nós usamos
e, na prática, dividimos por ao escrever ; isso faz com que a solução constante não apareça na família implícita obtida (ela fica “perdida” ao dividir por ). Por isso é preciso listar separadamente como solução.
Passo 8
Agora a parte (c): estudar onde o Teorema de Existência e Unicidade (TEU) falha. Relembrando a condição prática do TEU (Picard–Lindelöf): se
e
são contínuas numa região contendo o ponto inicial, então existe uma solução única local. Portanto devemos achar onde
ou
deixam de ser contínuas.
- Aqui
. O único possível problema de continuidade vem do denominador . Logo pontos onde são candidatos a falha do TEU.
Passo 9
Encontrar explicitamente
e verificar sua continuidade (mostrar cálculo com detalhes):
- Como
depende só de , trate-a como constante ao derivar em . Calcular a derivada de . Usando a regra do quociente: - Simplificar o numerador:
- Portanto
- Observação: o denominador
é zero exatamente quando . Assim não é contínua nesses .
Passo 10
Concluir onde o TEU falha, com interpretação geométrica e menção de existência/definição da equação:
- A função
não está definida (logo não é contínua) quando , isto é quando Nesses valores de o lado direito da EDO tem denominador zero. Portanto a EDO não está definida nestas linhas horizontais do plano . - Além disso
também é singular nessas mesmas linhas, impedindo a aplicação do TEU nelas. - Conclusão da parte (c): o TEU falha nas regiões (linhas) do plano onde
(para todos os ). Em qualquer reta ou retângulo que não intersecte essas linhas, e são contínuas e o TEU garante existência e unicidade local da solução. - Observação final: no ponto
não há problema — e são contínuas em torno de , e a solução constante é única para a condição inicial .
Resposta
(a) Sim.
(b) Solução implícita geral:
.
Além disso existe a solução constante .
Além disso existe a solução constante
(c) O TEU falha nas linhas onde
, isto é em
(para todos os
).