Questão 1 (5 pontos)

Considere a equação diferencial ordinária (EDO) não linear abaixo:
d y / d t=((y-3) \cos (t)) /\left(1-2 y^{2}\right)
a) (1 ponto) Esta EDO é uma equação separável? Justifique.
b) (2 pontos) Resolva a equação de acordo com a resposta do item (a).
c) (2 pontos) Estude a equação e determine em que região do plano R^{2} o Teorema de Existência e Unicidade (TEU) de solução falha.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • A equação diferencial dada é \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{(y-3)\cos t}{1-2y^{2}}.
  • O enunciado pede:
    (a) dizer se a EDO é separável e justificar;
    (b) resolver a equação de acordo com a resposta do item (a);
    (c) estudar a equação e determinar em que região do plano \mathbb{R}^{2} o Teorema de Existência e Unicidade (TEU) falha.
Informações relevantes que já estão no enunciado e que vou usar: a fórmula da EDO (já escrita aí em cima) e os pontos onde aparecem denominadores (possíveis singularidades): 1-2y^{2}=0 é uma condição que surge do denominador.

Passo 2

Responder à parte (a): o que significa “ser separável” e aplicar ao caso.
  • Definição prática: uma EDO na forma \dfrac{dy}{dt}=f(t,y) é separável se f(t,y) pode ser escrita como um produto de uma função que depende só de t por outra que depende só de y, isto é f(t,y)=g(t)\,h(y). Nesse caso podemos escrever \dfrac{1}{h(y)}\,dy = g(t)\,dt e integrar.
  • Para a EDO dada temos \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{(y-3)\cos t}{1-2y^{2}}.Aqui podemos ver f(t,y)=\cos t\cdot\frac{y-3}{1-2y^{2}}, ou seja é um produto de \cos t (só depende de t) por \dfrac{y-3}{1-2y^{2}} (só depende de y).
  • Conclusão da parte (a): Sim, a EDO é separável porque pode ser escrita na forma g(t)h(y) com g(t)=\cos t e h(y)=(y-3)/(1-2y^{2}).

Passo 3

Início da resolução pela separação de variáveis (parte b). Colocar os termos em y de um lado e em t do outro:
  • A separação dá \frac{1-2y^{2}}{y-3}\,dy = \cos t\,dt.
  • Agora integrar ambos os lados. Vamos fazer a integral em y com calma: \displaystyle\int \frac{1-2y^{2}}{y-3}\,dy. Esse integrando é uma razão de polinômios; uma forma prática é fazer divisão polinomial (ou decomposição) para facilitar a integração.

Passo 4

Executando a divisão polinomial para integrar \displaystyle\int \frac{1-2y^{2}}{y-3}\,dy. Vou escrever o numerador como -2y^{2}+0\cdot y +1 para a divisão por y-3:
  • Dividindo -2y^{2}+0y+1 por y-3: o quociente é -2y-6 e o resto é -17. Ou seja \frac{1-2y^{2}}{y-3} = -2y -6 + \frac{-17}{y-3}.(Verificação rápida: (-2y-6)(y-3)-17 = -2y^{2}+1, que é 1-2y^{2}.)
  • Portanto a integral fica a soma de integrais simples: \int\frac{1-2y^{2}}{y-3}\,dy = \int(-2y-6)\,dy + \int\frac{-17}{y-3}\,dy.

Passo 5

Calcular cada integral explicitamente, explicando cada passo elementar (fórmulas usadas):
  • \displaystyle\int -2y\,dy = -y^{2}. (Regra: \int y\,dy = y^{2}/2.)
  • \displaystyle\int -6\,dy = -6y. (Constante vezes y.)
  • \displaystyle\int \frac{-17}{y-3}\,dy = -17\int\frac{1}{y-3}\,dy = -17\ln|y-3|. (Regra: \int \dfrac{1}{u}\,du=\ln|u| e aqui u=y-3.)
  • Somando: \int\frac{1-2y^{2}}{y-3}\,dy = -y^{2}-6y-17\ln|y-3| + C_{1}.

Passo 6

Integrar o lado em t e montar a relação implícita geral:
  • O lado direito era \displaystyle\int \cos t\,dt = \sin t + C_{2}.
  • Igualando as integrais (absorvendo constantes numa só constante C) obtemos a solução implícita geral -y^{2}-6y-17\ln|y-3| = \sin t + C.
  • Podemos reescrever, se preferir, isolando a constante do outro lado: y^{2}+6y+17\ln|y-3| = -\sin t + C'.Mas atenção: essa é uma solução implícita. Não é possível, em termos elementares, resolver explicitamente para y(t) por uma fórmula fechada porque o y aparece polinomialmente e também dentro do \ln.

Passo 7

Analisar soluções singulares/excepcionais que a separação pode ter escondido: solução constante y\equiv 3.
  • Note que se y(t)\equiv 3 então (y-3)=0 e a EDO dá \dfrac{dy}{dt}=0 (pois o numerador fica zero), logo y\equiv 3 é solução constante.
  • Ao separar e integrar nós usamos \ln|y-3| e, na prática, dividimos por y-3 ao escrever (1-2y^{2})/(y-3)\,dy; isso faz com que a solução constante y\equiv 3 não apareça na família implícita obtida (ela fica “perdida” ao dividir por y-3). Por isso é preciso listar y\equiv 3 separadamente como solução.

Passo 8

Agora a parte (c): estudar onde o Teorema de Existência e Unicidade (TEU) falha. Relembrando a condição prática do TEU (Picard–Lindelöf): se f(t,y) e \partial f/\partial y são contínuas numa região contendo o ponto inicial, então existe uma solução única local. Portanto devemos achar onde f ou \partial f/\partial y deixam de ser contínuas.
  • Aqui f(t,y)=\dfrac{(y-3)\cos t}{1-2y^{2}}. O único possível problema de continuidade vem do denominador 1-2y^{2}. Logo pontos onde 1-2y^{2}=0 são candidatos a falha do TEU.

Passo 9

Encontrar explicitamente \partial f/\partial y e verificar sua continuidade (mostrar cálculo com detalhes):
  • Como \cos t depende só de t, trate-a como constante ao derivar em y. Calcular a derivada de h(y)=\dfrac{y-3}{1-2y^{2}}. Usando a regra do quociente: h'(y)=\frac{(1-2y^{2})\cdot 1 - (y-3)\cdot(-4y)}{(1-2y^{2})^{2}}.
  • Simplificar o numerador: (1-2y^{2}) + 4y(y-3) = 1-2y^{2} +4y^{2}-12y = 1+2y^{2}-12y.
  • Portanto \frac{\partial f}{\partial y}(t,y) = \cos t\cdot \frac{2y^{2}-12y+1}{(1-2y^{2})^{2}}.
  • Observação: o denominador (1-2y^{2})^{2} é zero exatamente quando 1-2y^{2}=0. Assim \partial f/\partial y não é contínua nesses y.

Passo 10

Concluir onde o TEU falha, com interpretação geométrica e menção de existência/definição da equação:
  • A função f(t,y) não está definida (logo não é contínua) quando 1-2y^{2}=0, isto é quando y=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}.Nesses valores de y o lado direito da EDO tem denominador zero. Portanto a EDO não está definida nestas linhas horizontais do plano (t,y).
  • Além disso \partial f/\partial y também é singular nessas mesmas linhas, impedindo a aplicação do TEU nelas.
  • Conclusão da parte (c): o TEU falha nas regiões (linhas) do plano onde y=\pm 1/\sqrt{2} (para todos os t). Em qualquer reta ou retângulo que não intersecte essas linhas, f e \partial f/\partial y são contínuas e o TEU garante existência e unicidade local da solução.
  • Observação final: no ponto y=3 não há problema — f e \partial f/\partial y são contínuas em torno de y=3, e a solução constante y\equiv 3 é única para a condição inicial y(t_{0})=3.

Resposta

(a) Sim.
(b) Solução implícita geral:
-y^{2}-6y-17\ln|y-3|=\sin t + C.
Além disso existe a solução constante y(t)\equiv 3.
(c) O TEU falha nas linhas onde 1-2y^{2}=0, isto é em y=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} (para todos os t).

Exercícios relacionados