Questão 1 (2.5 pontos):
Resolva o seguinte problema de valor inicial:
\left\{\begin{array}{l} y \frac{d y}{d x}=x e^{-y^{2}+x} \\\ y(0)=1 \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por
\left\{\begin{array}{l} y \dfrac{d y}{d x}=x e^{-y^{2}+x},\\[6pt] y(0)=1. \end{array}\right.
Informações fornecidas: a equação diferencial ordinária e a condição inicial y(0)=1. A resposta deve ser a função y(x) que satisfaz a equação e a condição inicial.]
Passo 2
Vamos manipular a equação para separar as variáveis (colocar termos em y com dy de um lado e termos em x com dx do outro). Começamos reescrevendo o fator exponencial:
e^{-y^{2}+x}=e^{x}\,e^{-y^{2}}.
Substituindo na equação original obtemos
y\,\frac{dy}{dx}=x\,e^{x}\,e^{-y^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por e^{y^{2}} e por dx para isolar dy e dx, vem
y\,e^{y^{2}}\,dy = x\,e^{x}\,dx.
Agora as variáveis estão separadas: o lado esquerdo depende só de y e o direito só de x.
Passo 3
Integrar ambos os lados em relação às suas variáveis:
\int y\,e^{y^{2}}\,dy = \int x\,e^{x}\,dx.
Explico como calcular cada integral.
Para a integral do lado esquerdo, use a substituição u=y^{2}. Então du=2y\,dy, ou seja, y\,dy=\dfrac{1}{2}\,du. Assim
Isso funciona porque a derivada de y^{2} é 2y, que aparece multiplicando dy.
Para a integral do lado direito, use integração por partes ou a fórmula conhecida. Façamos por partes: escolha U=x e dV=e^{x}dx. Então dU=dx e V=e^{x}. A fórmula dá
\int x\,e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C_2 = (x-1)e^{x} + C_2.
Passo 4
Igualando as duas primitivas (absorvendo as constantes numa única constante C) obtemos
\frac{1}{2} e^{y^{2}} = (x-1)e^{x} + C.
Passo 5
Agora aplicamos a condição inicial y(0)=1 para determinar C. Substituindo x=0 e y=1 na igualdade anterior:
\frac{1}{2} e^{1} = (0-1)e^{0} + C.
Como e^{0}=1, isso resulta em
\frac{1}{2} e = -1 + C,
portanto
C = \frac{1}{2} e + 1.
Passo 6
Substituindo C de volta na expressão integrada:
\frac{1}{2} e^{y^{2}} = (x-1)e^{x} + \left(\frac{1}{2} e + 1\right).
Multiplicando por 2 para simplificar:
e^{y^{2}} = 2(x-1)e^{x} + e + 2.
Passo 7
Agora isolamos y. Tomando logaritmo natural (função inversa da exponencial) em ambos os lados:
y^{2} = \ln\!\big(2(x-1)e^{x} + e + 2\big).
Então
y = \pm\sqrt{\ln\!\big(2(x-1)e^{x} + e + 2\big)}.
Devemos escolher o sinal compatível com a condição inicial y(0)=1. Avaliando a expressão dentro do logaritmo em x=0 (para verificar consistência):
2(0-1)e^{0} + e + 2 = -2 + e + 2 = e,
logo \ln(e)=1 e \sqrt{1}=1. Assim o sinal positivo corresponde à condição inicial. Portanto a solução que satisfaz y(0)=1 é