Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial mista que descreve como uma função u(x, t) varia no tempo t e no espaço x . O conteúdo que vamos utilizar aqui envolve equações de onda e métodos como a separação de variáveis e séries de Fourier. Precisamos aplicar essas técnicas para encontrar a solução que satisfaz as condições de contorno e iniciais dadas.
Passo 2
Primeiro, observamos a equação dada:
partial^2 upartial t^2 = a partial^2 upartial x^2
Essa é a equação da onda, onde a é uma constante que relaciona a variação no tempo com a variação no espaço.
Passo 3
As condições de contorno são:
u(0, t) = 0 e u(pi, t) = 0 para todo t >= 0
Isso significa que as extremidades da barra (em x = 0 e x = pi ) estão fixadas, ou seja, não se movem.
Passo 4
As condições iniciais são:
u(x, 0) = f(x) e partial upartial t(x, 0) = g(x)
Essas condições nos dizem a forma inicial da função u(x, 0) e sua velocidade inicial.
Passo 5
Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de x e outra que depende apenas de t :
u(x, t) = X(x)T(t)
Passo 6
Substituindo u(x, t) = X(x)T(t) na equação da onda:
X(x) d^2T(t)dt^2 = a T(t) d^2X(x)dx^2
Dividindo ambos os lados por a X(x) T(t) :
1a T(t) d^2T(t)dt^2 = 1X(x) d^2X(x)dx^2 = -lambda
Aqui, lambda é uma constante de separação.
Passo 7
Agora, temos duas equações ordinárias:
Para X(x) :
d^2Xdx^2 + lambda X = 0
Para T(t) :
d^2Tdt^2 + a lambda T = 0
Passo 8
Vamos resolver a equação de X(x) com as condições de contorno X(0) = 0 e X(pi) = 0 :
A solução geral é:
Xn(x) = sin(n xpi)
onde n é um inteiro positivo, e lambdan = (npi)^2 .
Passo 9
Agora, resolvemos a equação de T(t) para cada lambdan :