3^a Questão (2,5 pontos) Resolver o problema misto
l partial^2 upartial t^2=a partial^2 upartial x^2, 0<x<pi, t>0 u(0, t)=0, u(pi, t)=0, t >= 0 u(x, 0)=f(x), partial upartial t(x, 0)=g(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial mista que descreve como uma função u(x, t) varia no tempo t e no espaço x . O conteúdo que vamos utilizar aqui envolve equações de onda e métodos como a separação de variáveis e séries de Fourier. Precisamos aplicar essas técnicas para encontrar a solução que satisfaz as condições de contorno e iniciais dadas.

Passo 2

Primeiro, observamos a equação dada:
partial^2 upartial t^2 = a partial^2 upartial x^2
Essa é a equação da onda, onde a é uma constante que relaciona a variação no tempo com a variação no espaço.

Passo 3

As condições de contorno são:
u(0, t) = 0 e u(pi, t) = 0 para todo t >= 0
Isso significa que as extremidades da barra (em x = 0 e x = pi ) estão fixadas, ou seja, não se movem.

Passo 4

As condições iniciais são:
u(x, 0) = f(x) e partial upartial t(x, 0) = g(x)
Essas condições nos dizem a forma inicial da função u(x, 0) e sua velocidade inicial.

Passo 5

Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de x e outra que depende apenas de t :
u(x, t) = X(x)T(t)

Passo 6

Substituindo u(x, t) = X(x)T(t) na equação da onda:
X(x) d^2T(t)dt^2 = a T(t) d^2X(x)dx^2
Dividindo ambos os lados por a X(x) T(t) :
1a T(t) d^2T(t)dt^2 = 1X(x) d^2X(x)dx^2 = -lambda
Aqui, lambda é uma constante de separação.

Passo 7

Agora, temos duas equações ordinárias:
  1. Para X(x) :
d^2Xdx^2 + lambda X = 0
  1. Para T(t) :
d^2Tdt^2 + a lambda T = 0

Passo 8

Vamos resolver a equação de X(x) com as condições de contorno X(0) = 0 e X(pi) = 0 :
A solução geral é:
Xn(x) = sin(n xpi)
onde n é um inteiro positivo, e lambdan = (npi)^2 .

Passo 9

Agora, resolvemos a equação de T(t) para cada lambdan :
d^2Tndt^2 + a lambdan Tn = 0
A solução geral é:
Tn(t) = An cos(raiza lambdan, t) + Bn sin(raiza lambdan, t)

Passo 10

Combinando Xn(x) e Tn(t) , a solução para cada modo n é:
un(x, t) = [An cos(n raizapi t) + Bn sin(n raizapi t)] sin(n xpi)

Passo 11

A solução geral é a soma de todos os modos:
u(x, t) = sumn=1^infty [An cos(n raizapi t) + Bn sin(n raizapi t)] sin(n xpi)

Passo 12

Para determinar os coeficientes An e Bn , usamos as condições iniciais.
Primeiro, para t = 0 :
u(x, 0) = sumn=1^infty An sin(n xpi) = f(x)
Isso implica que An são os coeficientes de Fourier de f(x) :
An = 2pi integral0^pi f(x) sin(n xpi) dx

Passo 13

Segundo, derivamos u(x, t) em relação ao tempo e avaliamos em t = 0 :
partial upartial t(x, 0) = sumn=1^infty Bn n raizapi sin(n xpi) = g(x)
Assim, os coeficientes Bn são:
Bn = 2n raiza integral0^pi g(x) sin(n xpi) dx

Resposta

A solução geral do problema misto é dada por:
u(x, t) = sumn=1^infty [ ( 2pi integral0^pi f(x') sin(n x'pi) dx' ) cos(n raizapi t) + ( 2n raiza integral0^pi g(x') sin(n x'pi) dx' ) sin(n raizapi t) ] sin(n xpi)

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