^ a Questão (2,5 pontos)
(a) Esboce o gráfico da função f(t)=t^4,-pi <= t <= pi, f(t+2 pi)=f(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer esboçar o gráfico da função f(t) = t^4 no intervalo de -pi a pi e saber como ela se comporta quando repetida a cada 2pi . Para isso, vamos usar conceitos de funções polinomiais e periodicidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(t) = t^4 . Essa é uma função polinomial onde o expoente é 4. Funções com expoentes pares são simétricas em relação ao eixo y. Isso significa que f(t) = f(-t) . Além disso, conforme t aumenta ou diminui, t^4 cresce rapidamente, tornando a curva bem “achatada” próximo de t=0 e subindo acentuadamente nas extremidades.

Passo 3

O intervalo dado é de -pi a pi . Vamos focar em desenhar o gráfico dessa função nesse intervalo. Vamos calcular alguns pontos chave:
  • Quando t = 0 , f(t) = 0 .
  • Quando t = pi , f(t) = pi^4 .
  • Quando t = -pi , f(t) = (-pi)^4 = pi^4 (porque qualquer número negativo elevado a um expoente par vira positivo).

Passo 4

Agora, a função é periódica com período 2pi , ou seja, f(t + 2pi) = f(t) . Isso significa que o gráfico que desenhamos de -pi a pi vai se repetir infinitamente para a direita e para a esquerda. Cada intervalo de 2pi será uma réplica exata do anterior.

Passo 5

Então, para esboçar o gráfico:
  1. Desenhe os eixos coordenados.
  2. Marque os pontos (-pi, pi^4) , (0, 0) e (pi, pi^4) .
  3. Conecte esses pontos com uma curva suave que é simétrica em relação ao eixo y e que aumenta rapidamente nas extremidades.
  4. Repita essa forma de -pi a pi para cada intervalo de 2pi , tanto para a direita quanto para a esquerda.

Resposta

O gráfico de f(t) = t^4 é uma curva simétrica em relação ao eixo y, com um ponto mínimo em t = 0 e valores altos em t = pmpi . Essa forma se repete a cada 2pi , criando um padrão periódico onde, em cada intervalo de 2pi , a curva sobe rapidamente nas extremidades e tem um ponto baixo no centro.

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