4- Questão (2,5 pontos) Resolver o seguinte problema
l partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0, 0<x<a, 0<y<b u(0, y)=0, u(a, y)=0 u(x, 0)=0, u(x, b)=f(x)
Observação: Justifique sua resposta em todas as questões acima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão envolve encontrar uma função u(x, y) que satisfaz a equação de Laplace:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0
dentro de uma região retangular definida por 0 < x < a e 0 < y < b . Além disso, temos algumas condições nas fronteiras desse retângulo:
  • u(0, y) = 0 e u(a, y) = 0 nas laterais verticais,
  • u(x, 0) = 0 na base horizontal,
  • u(x, b) = f(x) no topo horizontal.
Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações diferenciais parciais, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, cada uma dependendo apenas de uma das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução u(x, y) pode ser escrita como:
u(x, y) = X(x) cdot Y(y)
Aqui, X(x) é uma função que depende só de x e Y(y) depende só de y . Essa suposição nos ajuda a separar as variáveis na equação de Laplace.

Passo 3

Agora, substituímos u(x, y) na equação de Laplace:
partial^2 (X cdot Y)partial x^2 + partial^2 (X cdot Y)partial y^2 = 0
Calculando as derivadas:
Y cdot X'' + X cdot Y'' = 0
Dividindo ambos os lados por X cdot Y :
X''X + Y''Y = 0
Isso nos dá:
X''X = -Y''Y = lambda
Aqui, lambda é uma constante que separa as duas equações.

Passo 4

Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias:
  1. Para X(x) :
X'' + lambda X = 0
  1. Para Y(y) :
Y'' - lambda Y = 0
Vamos resolver cada uma delas separadamente.

Passo 5

Começando com a equação para X(x) :
X'' + lambda X = 0
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com soluções oscilatórias quando lambda > 0 . As soluções gerais são:
X(x) = A sin(npi xa)
Onde n é um número inteiro positivo. Escolhemos senos porque as condições nas fronteiras u(0, y) = 0 e u(a, y) = 0 exigem que X(0) = 0 e X(a) = 0 .

Passo 6

Para a equação de Y(y) :
Y'' - lambda Y = 0
Substituindo lambda = (npia)^2 , a solução geral é:
Y(y) = B sinh(npi ya)
Usamos a função hiperbólica seno ( sinh ) porque queremos soluções que crescem exponencialmente com y , adequadas para satisfazer a condição no topo u(x, b) = f(x) .

Passo 7

Agora, combinando X(x) e Y(y) , temos a solução geral para cada modo n :
un(x, y) = An sin(npi xa) sinh(npi ya)
Para obter a solução completa, somamos todos os modos possíveis:
u(x, y) = sumn=1^infty An sin(npi xa) sinh(npi ya)

Passo 8

Agora, usamos a condição no topo u(x, b) = f(x) para determinar os coeficientes An . Substituímos y = b :
f(x) = sumn=1^infty An sin(npi xa) sinh(npi ba)
Para encontrar An , multiplicamos ambos os lados por sin(mpi xa) e integramos de 0 a a :
An = 2a sinh(npi ba) integral0^a f(x) sin(npi xa) dx

Passo 9

Finalmente, substituímos An na solução geral:
u(x, y) = sumn=1^infty [ 2a sinh(npi ba) integral0^a f(xi) sin(npi xia) dxi ] sin(npi xa) sinh(npi ya)
Onde xi é uma variável de integração.

Resposta

A solução para o problema é:
u(x, y) = sumn=1^infty [ 2a sinh(npi ba) integral0^a f(xi) sin(npi xia) dxi ] sin(npi xa) sinh(npi ya)

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