Questão 4 2,5 pontos

Um satélite está se movendo com velocidade constante V em uma órbita circular em torno do planeta Terra. Um objeto de massa m é então ejetado a partir deste satélite, de tal maneira que este objeto tem justamente a velocidade mínima para escapar da atração gravitacional da Terra. No momento em que é ejetado, a energia cinética deste objeto é:
(a) \frac{1}{2} m V^{2}
(b) \mathrm{mV}^{2}
(c) (3 / 2) \mathrm{mV}^{2}
(d) 2 m V^{2}
(e) 3 m V^{2}
(f) (3 / 4) m V^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dado: um satélite descreve uma órbita circular em torno da Terra com velocidade constante V.
  • Dado: um objeto de massa m é ejetado a partir do satélite de modo que ele tenha exatamente a velocidade mínima para escapar da atração gravitacional da Terra.
  • Pedido: determinar a energia cinética do objeto no momento em que é ejetado.
Observação útil para organizar: a velocidade mínima para escapar (velocidade de fuga) é medida em relação ao centro da Terra (ou seja, no referencial inercial onde o satélite tem velocidade V). A resposta deve ser expressa em função de m e V.

Passo 2

Entender a relação entre a velocidade orbital V e a gravidade no raio da órbita. Para uma órbita circular, a força gravitacional fornece a aceleração centrípeta. Escrevendo a segunda lei de Newton para o movimento circular:
\frac{m V^{2}}{r} = \frac{G M m}{r^{2}},
onde:
  • m é a massa do objeto (cancela na equação),
  • r é o raio da órbita (distância do centro da Terra até o satélite no instante considerado),
  • G é a constante gravitacional,
  • M é a massa da Terra.
Cancelando m e multiplicando ambos os lados por r obtemos a relação
V^{2} = \frac{G M}{r}.
Explicação curta: isso vem do equilíbrio entre força gravitacional e força centrípeta — é a fórmula padrão da velocidade de uma órbita circular.

Passo 3

Calcular a velocidade de escape (velocidade mínima para escapar) a partir do raio r. A condição de escape mínima é que a energia mecânica total inicial seja zero (energia cinética inicial suficiente para que a energia total ao chegar no infinito seja zero — velocidade nula no infinito). Escrevendo conservação da energia:
\frac{1}{2} m v_{\text{esc}}^{2} + \left(-\frac{G M m}{r}\right) = 0.
Aqui:
  • \frac{1}{2} m v_{\text{esc}}^{2} é a energia cinética inicial do objeto,
  • -\dfrac{G M m}{r} é a energia potencial gravitacional à distância r,
  • no infinito a energia potencial tende a zero e a velocidade mínima de fuga é tal que a energia total final seja zero.
Da equação acima vem
\frac{1}{2} m v_{\text{esc}}^{2} = \frac{G M m}{r}\quad\Rightarrow\quad v_{\text{esc}}^{2} = \frac{2 G M}{r}.

Passo 4

Relacionar v_{\text{esc}} com a velocidade orbital V. Use a relação encontrada no Passo 2, \dfrac{G M}{r}=V^{2}. Substituindo em v_{\text{esc}}^{2}:
v_{\text{esc}}^{2} = 2\frac{G M}{r} = 2 V^{2}.
Logo
v_{\text{esc} }=\sqrt{2}\,V.
Interpretação física rápida e importante: a velocidade de escape a partir daquela órbita é \sqrt{2} vezes a velocidade circular. Para que o objeto “tenha justamente a velocidade mínima para escapar”, sua velocidade no referencial inercial (o mesmo do centro da Terra) deve ser v_{\text{esc}}=\sqrt{2}\,V. (Na prática, isso ocorre se a ejeção for feita alinhada com a velocidade do satélite, aumentando sua rapidez; esse detalhe de direção garante o menor acréscimo de energia necessário.)

Passo 5

Calcular a energia cinética do objeto no momento da ejeção, usando v_{\text{esc}}. A energia cinética é
K=\frac{1}{2} m v_{\text{esc}}^{2}.
Substituindo v_{\text{esc}}^{2}=2V^{2} obtemos
K=\frac{1}{2} m (2 V^{2})=m V^{2}.
Portanto, no instante da ejeção a energia cinética do objeto vale mV^{2}.

Resposta

mV^{2}

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