Questão 4 2,5 pontos
Um satélite está se movendo com velocidade constante V em uma órbita circular em torno do planeta Terra. Um objeto de massa m é então ejetado a partir deste satélite, de tal maneira que este objeto tem justamente a velocidade mínima para escapar da atração gravitacional da Terra. No momento em que é ejetado, a energia cinética deste objeto é:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Dado: um satélite descreve uma órbita circular em torno da Terra com velocidade constante
. - Dado: um objeto de massa
é ejetado a partir do satélite de modo que ele tenha exatamente a velocidade mínima para escapar da atração gravitacional da Terra. - Pedido: determinar a energia cinética do objeto no momento em que é ejetado.
Observação útil para organizar: a velocidade mínima para escapar (velocidade de fuga) é medida em relação ao centro da Terra (ou seja, no referencial inercial onde o satélite tem velocidade
). A resposta deve ser expressa em função de
e
.
Passo 2
Entender a relação entre a velocidade orbital
e a gravidade no raio da órbita. Para uma órbita circular, a força gravitacional fornece a aceleração centrípeta. Escrevendo a segunda lei de Newton para o movimento circular:
onde:
-
é a massa do objeto (cancela na equação), -
é o raio da órbita (distância do centro da Terra até o satélite no instante considerado), -
é a constante gravitacional, -
é a massa da Terra.
Cancelando
e multiplicando ambos os lados por
obtemos a relação
Explicação curta: isso vem do equilíbrio entre força gravitacional e força centrípeta — é a fórmula padrão da velocidade de uma órbita circular.
Passo 3
Calcular a velocidade de escape (velocidade mínima para escapar) a partir do raio
. A condição de escape mínima é que a energia mecânica total inicial seja zero (energia cinética inicial suficiente para que a energia total ao chegar no infinito seja zero — velocidade nula no infinito). Escrevendo conservação da energia:
Aqui:
-
é a energia cinética inicial do objeto, -
é a energia potencial gravitacional à distância , - no infinito a energia potencial tende a zero e a velocidade mínima de fuga é tal que a energia total final seja zero.
Da equação acima vem
Passo 4
Relacionar
com a velocidade orbital
. Use a relação encontrada no Passo 2,
. Substituindo em
:
Logo
Interpretação física rápida e importante: a velocidade de escape a partir daquela órbita é
vezes a velocidade circular. Para que o objeto “tenha justamente a velocidade mínima para escapar”, sua velocidade no referencial inercial (o mesmo do centro da Terra) deve ser
. (Na prática, isso ocorre se a ejeção for feita alinhada com a velocidade do satélite, aumentando sua rapidez; esse detalhe de direção garante o menor acréscimo de energia necessário.)
Passo 5
Calcular a energia cinética do objeto no momento da ejeção, usando
. A energia cinética é
Substituindo
obtemos
Portanto, no instante da ejeção a energia cinética do objeto vale
.