Questão 2 2,5 pontos

Um satélite está se movendo com velocidade constante V em uma órbita circular em torno do planeta Terra. Um objeto de massa m é então ejetado a partir deste satélite, de tal maneira que este objeto tem justamente a velocidade mínima para escapar da atração gravitacional da Terra. No momento em que é ejetado, a energia cinética deste objeto é:
(a) 1 / 2 m V^{2}
(b) \mathrm{mV}^{2}
(c) (3 / 2) \mathrm{mV}^{2}
(d) 2 m V^{2}
(e) 3 m V^{2}
(f) (3 / 4) \mathrm{mV}^{2}
Indique o raciocínio justificando a sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (listar sem resolver ainda):
  • Dados fornecidos:
    • Um satélite descreve uma órbita circular ao redor da Terra com velocidade constante \,V\,.
    • Um objeto de massa \,m\, é ejetado do satélite de modo que, imediatamente após a ejeção, o objeto tem exatamente a velocidade mínima necessária para escapar da atração gravitacional da Terra (isto é, velocidade de escape a partir daquela distância).
  • O que se pede:
    • Determinar a energia cinética do objeto no instante da ejeção e escolher entre as alternativas:
      • (a) \tfrac{1}{2} m V^{2}
      • (b) m V^{2}
      • (c) \tfrac{3}{2} m V^{2}
      • (d) 2 m V^{2}
      • (e) 3 m V^{2}
      • (f) \tfrac{3}{4} m V^{2}

Passo 2

Entender o que é velocidade de escape e deduzir sua expressão.
Conservação de energia: para que um corpo de massa \,m\, lançado a partir da distância radial \,r\, (do centro da Terra) alcance o infinito com velocidade final nula, sua energia mecânica inicial deve ser zero (energia cinética inicial igual em módulo à energia potencial gravitacional). Escrevendo isso:
\frac{1}{2} m v_{\text{esc}}^{2} - \frac{GMm}{r} = 0,
onde:
  • \,v_{\text{esc}}\, é a velocidade de escape na distância \,r\,,
  • \,G\, é a constante gravitacional,
  • \,M\, é a massa da Terra,
  • \,r\, é o raio da órbita (distância do centro da Terra).
    Agora isolamos \,v_{\text{esc}}^{2}:
\frac{1}{2} v_{\text{esc}}^{2} = \frac{GM}{r} \quad\Rightarrow\quad v_{\text{esc}}^{2} = \frac{2GM}{r}.

Passo 3

Determinar a velocidade orbital \,V\, (a velocidade do satélite em órbita circular) em termos de \,GM\, e \,r.
Na órbita circular a força centrípeta é fornecida pela gravidade:
\frac{mV^{2}}{r} = \frac{GMm}{r^{2}}.
Cancelando m e multiplicando por r obtemos:
V^{2} = \frac{GM}{r}.
Expliquei: aqui \,V^{2} é exatamente \dfrac{GM}{r}, que aparece também na expressão da velocidade de escape.

Passo 4

Relacionar \,v_{\text{esc}}\, com \,V\, usando as fórmulas encontradas. Substituímos \dfrac{GM}{r} por \,V^{2} na expressão de \,v_{\text{esc}}^{2}:
v_{\text{esc}}^{2} = \frac{2GM}{r} = 2V^{2}.
Portanto
v_{\text{esc}} = \sqrt{2}\,V.
Interpretação física rápida: a velocidade de escape é \sqrt{2} vezes a velocidade orbital naquele raio.

Passo 5

Calcular a energia cinética do objeto no instante da ejeção. A energia cinética é
K = \frac{1}{2} m v^{2}.
Como o enunciado diz que, no momento da ejeção, o objeto tem exatamente a velocidade mínima para escapar, usamos v = v_{\text{esc}} = \sqrt{2}\,V. Então:
K = \frac{1}{2} m \bigl(\sqrt{2}\,V\bigr)^{2} = \frac{1}{2} m \cdot 2 V^{2} = m V^{2}.
Comentário didático e intuição: a energia cinética necessária para escapar a partir daquela órbita é o dobro da energia cinética que o objeto tinha simplesmente por estar em órbita (porque a energia cinética em órbita é \tfrac{1}{2} m V^{2}). Ou seja, energia cinética de escape \,mV^{2} é duas vezes a energia cinética orbital \,\tfrac{1}{2}mV^{2}.

Resposta

(b) mV^{2}

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