Questão 2 2,5 pontos
Um satélite está se movendo com velocidade constante V em uma órbita circular em torno do planeta Terra. Um objeto de massa m é então ejetado a partir deste satélite, de tal maneira que este objeto tem justamente a velocidade mínima para escapar da atração gravitacional da Terra. No momento em que é ejetado, a energia cinética deste objeto é:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Indique o raciocínio justificando a sua resposta.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (listar sem resolver ainda):
- Dados fornecidos:
- Um satélite descreve uma órbita circular ao redor da Terra com velocidade constante
. - Um objeto de massa
é ejetado do satélite de modo que, imediatamente após a ejeção, o objeto tem exatamente a velocidade mínima necessária para escapar da atração gravitacional da Terra (isto é, velocidade de escape a partir daquela distância).
- Um satélite descreve uma órbita circular ao redor da Terra com velocidade constante
- O que se pede:
- Determinar a energia cinética do objeto no instante da ejeção e escolher entre as alternativas:
- (a)
- (b)
- (c)
- (d)
- (e)
- (f)
- (a)
- Determinar a energia cinética do objeto no instante da ejeção e escolher entre as alternativas:
Passo 2
Entender o que é velocidade de escape e deduzir sua expressão.
Conservação de energia: para que um corpo de massa lançado a partir da distância radial
(do centro da Terra) alcance o infinito com velocidade final nula, sua energia mecânica inicial deve ser zero (energia cinética inicial igual em módulo à energia potencial gravitacional). Escrevendo isso:
Conservação de energia: para que um corpo de massa
onde:
-
é a velocidade de escape na distância -
é a constante gravitacional, -
é a massa da Terra, -
é o raio da órbita (distância do centro da Terra).
Agora isolamos:
Passo 3
Determinar a velocidade orbital
(a velocidade do satélite em órbita circular) em termos de
e
.
Na órbita circular a força centrípeta é fornecida pela gravidade:
Na órbita circular a força centrípeta é fornecida pela gravidade:
Cancelando
e multiplicando por
obtemos:
Expliquei: aqui
é exatamente
, que aparece também na expressão da velocidade de escape.
Passo 4
Relacionar
com
usando as fórmulas encontradas. Substituímos
por
na expressão de
:
Portanto
Interpretação física rápida: a velocidade de escape é
vezes a velocidade orbital naquele raio.
Passo 5
Calcular a energia cinética do objeto no instante da ejeção. A energia cinética é
Como o enunciado diz que, no momento da ejeção, o objeto tem exatamente a velocidade mínima para escapar, usamos
. Então:
Comentário didático e intuição: a energia cinética necessária para escapar a partir daquela órbita é o dobro da energia cinética que o objeto tinha simplesmente por estar em órbita (porque a energia cinética em órbita é
). Ou seja, energia cinética de escape
é duas vezes a energia cinética orbital
.
Resposta
(b)