Questão 2 (9 pontos). Seja F o campo vetorial dado por F=(y^2, x) e C a curva C=C1 cup C2, sendo C1 o arco do círculo (x-1)^2+y^2=1, y >= 0, de (0,0) a (2,0) e C2 o segmento de reta indo de (2,0) a (0,0).
(a) Calcule a integral integralC F cdot d r diretamente.
(b) Calcule a integral integralC F cdot d r usando o Teorema de Green.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular
integralC vec Fcdot dvec r
para vec F=(y^2,x) e
C=C1cup C2, onde C1 é o arco de círculo (x-1)^2+y^2=1,;y>=0 de (0,0) a (2,0) e C2 é o segmento de reta de (2,0) a (0,0).
Usaremos duas abordagens: (a) cálculo direto por parametrização e (b) aplicação do Teorema de Green.

Passo 2

Para a parte C1 escolhemos a parametrização
vec r(t) = l(1-cos t,;sin tr), tin[0,pi],
que vai de vec r(0)=(0,0) a vec r(pi)=(2,0). Então
dvec rdt = (sin t,;cos t), vec Fl(vec r(t)r) = l(sin^2 t,;1-cos tr)
O produto escalar vale
vec Fcdotdvec rdt = sin^2 tcdotsin t ;+;(1-cos t)cos t = sin^3 t + cos t - cos^2 t
Logo
integralC1vec Fcdot dvec r = integral0^pil(sin^3 t + cos t - cos^2 tr),dt
Para avaliar, note
integral0^pisin^3 t,dt = 43, integral0^picos t,dt = 0, integral0^picos^2 t,dt = pi2,
então
integralC1vec Fcdot dvec r = 43 ;+; 0 ;-;pi2 = 43 - pi2

Passo 3

Para a parte C2 parametrize por
vec r(s) = (2-2s,;0), sin[0,1],
de modo que vec r(0)=(2,0) e vec r(1)=(0,0). Então
dvec rds = (-2,0), vec Fl(vec r(s)r) = (0,;2-2s),
e
vec Fcdotdvec rds = 0cdot(-2) + (2-2s)cdot0 = 0
Logo
integralC2vec Fcdot dvec r = 0

Passo 4

Somando as duas partes no cálculo direto,
integralCvec Fcdot dvec r = integralC1vec Fcdot dvec r + integralC2vec Fcdot dvec r = 43 - pi2 + 0 = 43 - pi2

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema de Green. Escrevemos vec F=(P,Q) com
P(y,x)=y^2, Q(y,x)=x
Então
partial Qpartial x = 1, partial Ppartial y = 2y,
e o integrando é
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - 2y
A região R é o semidisco (x-1)^2+y^2<=1,;y>=0. Observamos que a orientação dada é no sentido horário, logo
ointC vec Fcdot dvec r = - integral duplaRl(1 - 2yr),dA

Passo 6

Para computar integral duplaR(1-2y),dA usamos coordenadas centradas em (1,0) ou polares:
u = x-1, v=y, u^2+v^2<=1,;v>=0,
ou diretamente em polares u=rcostheta,;v=rsintheta com
thetain[0,pi], rin[0,1]. O jacobiano é r e
integral duplaR (1 - 2y),dA = integral0^piintegral0^1l(1 - 2rsinthetar),r,dr,dtheta = integral0^pil[tfrac12 - tfrac23sinthetar],dtheta = pi2 - 43
Aplicando o sinal negativo da orientação:
ointC vec Fcdot dvec r = -l(pi2 - 43r) = 43 - pi2,
que coincide com o resultado do cálculo direto.

Resposta

integralCvec Fcdot dvec r = 43 - pi2

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