Questão 2 (9 pontos). Seja
o campo vetorial dado por
e
a curva
, sendo
o arco do círculo
, de
a
e
o segmento de reta indo de
a
.
(a) Calcule a integral
diretamente.
(b) Calcule a integral
usando o Teorema de Green.
(a) Calcule a integral
(b) Calcule a integral
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos calcular
para e
, onde
é o arco de círculo
de
a
e
é o segmento de reta de
a
.
Usaremos duas abordagens: (a) cálculo direto por parametrização e (b) aplicação do Teorema de Green.
para
Usaremos duas abordagens: (a) cálculo direto por parametrização e (b) aplicação do Teorema de Green.
Passo 2
Para a parte
escolhemos a parametrização
que vai de
a
. Então
O produto escalar vale
Logo
Para avaliar, note
então
Passo 3
Para a parte
parametrize por
de modo que
e
. Então
e
Logo
Passo 4
Somando as duas partes no cálculo direto,
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema de Green. Escrevemos
com
Então
e o integrando é
A região
é o semidisco
. Observamos que a orientação dada é no sentido horário, logo
Passo 6
Para computar
usamos coordenadas centradas em
ou polares:
ou diretamente em polares
com
,
. O jacobiano é
e
Aplicando o sinal negativo da orientação:
que coincide com o resultado do cálculo direto.