Questão 1 (8 pontos). Seja F o campo vetorial definido por
F(x, y)=(y e^x, e^x+sen 3 y)
(a) Mostre que F é conservativo.
(b) Encontre uma função potencial para F.
(c) Calcule a integral integralC F cdot d r, onde C é uma curva plana descrita em coordenadas polares por r=raizsen phi+1, percorrida de phi=0 até phi=pi2.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y) = l(P(x,y),,Q(x,y)r) = l(y e^x,,e^x+sin3yr)
e pede: (a) mostrar que é conservativo, (b) encontrar função potencial f e (c) calcular
integralCFcdot dr onde C é dada em coordenadas polares por
,r=raizsinphi+1, phi de 0 a pi/2. Vamos usar a condição de campo gradiente (Teorema Fundamental da Cálculo em Bbb R^2).

Passo 2

Verificamos a condição de conservatividade em domínio simplesmente conexo ( Bbb R^2):
partial Ppartial y = partialpartial yl(y e^xr) = e^x, partial Qpartial x = partialpartial xl(e^x + sin3yr) = e^x
Como partial P/partial y = partial Q/partial x, F é conservativo.

Passo 3

Para achar a potencial f(x,y) satisfazemos
partial f/partial x = P = y e^x. Integrando em x:
f(x,y) = integral y e^x,dx = y e^x + g(y)
Agora impomos partial f/partial y = Q:
partial fpartial y = e^x + g'(y) stackrel!= e^x + sin3y ;Longrightarrow; g'(y) = sin3y ;Longrightarrow; g(y) = -tfrac13cos3y + C
Logo, uma função potencial é
f(x,y) = y e^x - tfrac13cos3y
(omitindo a constante C).

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental,
integralCFcdot dr = fl(x(pi/2),y(pi/2)r) - fl(x(0),y(0)r)
Em coordenadas polares r=raizsinphi+1:
para phi=0 tem r=1, então (x,y)=(1,0);
para phi=pi/2 tem r=2, então (x,y)=(0,2).

Passo 5

Calculamos f nos pontos:
f(0,2) = 2e^0 - tfrac13cos6 = 2 - tfrac13cos6, f(1,0) = 0cdot e^1 - tfrac13cos0 = -tfrac13
Logo
integralCFcdot dr = l(2 - tfrac13cos6r) - l(-tfrac13r) = 2 + tfrac13 - tfrac13cos6 = 7 - cos63

Resposta

7 - cos63

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