Questão 1 (8 pontos). Seja
o campo vetorial definido por
(a) Mostre que
é conservativo.
(b) Encontre uma função potencial para
.
(c) Calcule a integral
, onde
é uma curva plana descrita em coordenadas polares por
, percorrida de
até
.
(b) Encontre uma função potencial para
(c) Calcule a integral
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede: (a) mostrar que é conservativo, (b) encontrar função potencial
e (c) calcular
onde
é dada em coordenadas polares por
,
de
a
. Vamos usar a condição de campo gradiente (Teorema Fundamental da Cálculo em
).
Passo 2
Verificamos a condição de conservatividade em domínio simplesmente conexo (
):
Como
,
é conservativo.
Passo 3
Para achar a potencial
satisfazemos
. Integrando em
:
Agora impomos
:
Logo, uma função potencial é
(omitindo a constante
).
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental,
Em coordenadas polares :
para tem
, então
;
para tem
, então
.
Em coordenadas polares
para
para
Passo 5
Calculamos
nos pontos:
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