Resolva o problema de valor inicial dado
y^prime=(-2 x+y)^2-7 y(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y' = (-2x + y)^2 - 7, y(0)=0
O conteúdo aqui é reconhecer que podemos eliminar o termo misto -2x+y por meio da substituição
u(x) = y(x) - 2x,
transformando a EDO num modelo separável.

Passo 2

Com u = y - 2x temos
y = u + 2x Longrightarrow y' = u' + 2
Substituindo em y' = (y-2x)^2 -7
u' + 2 = u^2 - 7 Longrightarrow u' = u^2 - 9

Passo 3

A equação u' = u^2 - 9 é separável. Escrevemos
duu^2 - 9 = dx
Para integrar o lado esquerdo usamos frações parciais:
1u^2-9 = 16l(1u-3 - 1u+3r)
Logo
integral duu^2-9 = 16integrall(1u-3 - 1u+3r)du = 16lnl|u-3u+3r| + C

Passo 4

Igualando ao lado direito e isolando a constante, obtemos
16lnl|u-3u+3r| = x + C1 Longrightarrow u-3u+3 = C e^6x
Resolvendo para u:
u(1 - C e^6x) = 3(1 + C e^6x) Longrightarrow u(x) = 3,1 + C e^6x1 - C e^6x

Passo 5

Usando a condição inicial u(0)=y(0)-2cdot0=0, temos
0 = 3,1 + C1 - C Longrightarrow 1 + C = 0 Longrightarrow C = -1
Portanto
u(x) = 3,1 - e^6x1 + e^6x

Passo 6

Por fim voltamos à variável original y = u + 2x, obtendo
y(x) = 2x + 3,1 - e^6x1 + e^6x

Resposta

boxedy(x) = 2x + 3,1 - e^6x1 + e^6x

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