Questão 2-5 pontos: Seja um fio cilíndrico reto de raio R=4,00 \mathrm{~mm} que carrega uma densidade de corrente \vec{j}(r) que pode ser constante ou dependente da distância radial r. Considere nas suas contas \pi \approx 3,00. Marque as três alternativas incorretas:
(a) Considerando J_{1}(r)=60 \mathrm{kA} / \mathrm{m}^{2}(r / R), a corrente que passa pelo fio completo tem um valor de aproximadamente 4,00 \mathrm{~A}.
(b) Considerando J_{3}(r)=60 \mathrm{kA} / \mathrm{m}^{2}, a corrente que passa pelo fio completo tem um valor de aproximadamente 2,88 \mathrm{~A}.
(c) Considerando J_{2}(r)=60 \mathrm{kA} / \mathrm{m}^{2}(1-r / R), a corrente que passa pelo fio completo tem um valor de aproximadamente 0,96 \mathrm{~A}.
(d) Considerando J_{1}(r)=60 \mathrm{kA} / \mathrm{m}^{2}(r / R), a corrente que passa pelo fio completo tem um valor de aproximadamente 1,92 \mathrm{~A}.
(e) Considerando J_{3}(r)=60 \mathrm{kA} / \mathrm{m}^{2}, a corrente que passa pelo fio completo tem um valor de aproximadamente 6,00 \mathrm{~A}.
(f) Considerando J_{2}(r)=60 \mathrm{kA} / \mathrm{m}^{2}(1-r / R), a corrente que passa pelo fio completo tem um valor de aproximadamente 2,00 \mathrm{~A}.

Passo 1

O enunciado trata de um fio cilíndrico de raio
R = 4,00\\ \mathrm{mm} = 4{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{m}
que transporta densidade de corrente radial j(r) que pode ser
J_{1}(r)=60\,\mathrm{kA/m^{2}}\,(r/R),\quad J_{2}(r)=60\,\mathrm{kA/m^{2}}\,(1 - r/R),\quad J_{3}(r)=60\,\mathrm{kA/m^{2}}.
Usaremos a fórmula da corrente total
I = \int_{0}^{R} j(r)\,2\pi r\,dr
e aproximaremos \pi\approx3. Vamos calcular I em cada caso e depois comparar com as alternativas.

Passo 2

Para J_{1}(r)=J_{0}\,(r/R) com J_{0}=60\,\mathrm{kA/m^{2}}=6,0\times10^{4}\,\mathrm{A/m^{2}},
I_{1} = \int_{0}^{R}J_{0}\frac{r}{R}\,2\pi r\,dr = 2\pi\,\frac{J_{0}}{R}\int_{0}^{R}r^{2}dr =2\pi\,\frac{J_{0}}{R}\cdot\frac{R^{3}}{3} =2\pi\,\frac{J_{0}R^{2}}{3}.
Como R^{2}=(4,00\times10^{-3})^{2}=16{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}, tem
J_{0}R^{2}=6{,}0\times10^{4}\times16{,}0\times10^{-6}=0{,}96\\ \mathrm{A}, \quad I_{1}=2\pi\frac{0{,}96}{3}\approx2\cdot\frac{0{,}96}{1}=1{,}92\\ \mathrm{A}.

Passo 3

Para J_{3}(r)=J_{0} constante,
I_{3} = \int_{0}^{R}J_{0}\,2\pi r\,dr =2\pi J_{0}\int_{0}^{R}r\,dr =2\pi J_{0}\cdot\frac{R^{2}}{2} =\pi\,J_{0}R^{2}.
Usando J_{0}R^{2}=0{,}96\\ \mathrm{A} e \pi\approx3,
I_{3}\approx3\times0{,}96=2{,}88\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Para J_{2}(r)=J_{0}\,(1 - r/R),
I_{2} = \int_{0}^{R}J_{0}\Bigl(1-\frac{r}{R}\Bigr)\,2\pi r\,dr =2\pi J_{0}\int_{0}^{R}\Bigl(r-\frac{r^{2}}{R}\Bigr)dr =2\pi J_{0}\Bigl[\frac{R^{2}}{2}-\frac{R^{2}}{3}\Bigr] =2\pi J_{0}R^{2}\frac{1}{6} =\frac{\pi\,J_{0}R^{2}}{3}.
Como \pi/3\approx1 e J_{0}R^{2}=0{,}96\\ \mathrm{A},
I_{2}\approx0{,}96\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Comparando com as alternativas:
(a) diz I_{1}\approx4{,}00\\ \mathrm{A}, mas achamos 1{,}92\\ \mathrm{A} → INCORRETA.
(b) diz I_{3}\approx2{,}88\\ \mathrm{A}, concorda → CORRETA.
(c) diz I_{2}\approx0{,}96\\ \mathrm{A}, concorda → CORRETA.
(d) diz I_{1}\approx1{,}92\\ \mathrm{A}, concorda → CORRETA.
(e) diz I_{3}\approx6{,}00\\ \mathrm{A}, mas achamos 2{,}88\\ \mathrm{A} → INCORRETA.
(f) diz I_{2}\approx2{,}00\\ \mathrm{A}, mas achamos 0{,}96\\ \mathrm{A} → INCORRETA.

Resposta

(a)
(e)
(f)

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