Seja a matriz A=Q R, com A e Q dados abaixo. Temos que Q e R são dados pela chamada fatoração QR.
a) Encontre a matriz triangular superior R;
b) Resolva a equação A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y} por mínimos quadrados, onde \boldsymbol{y} também é dado abaixo, utilizando a matriz R.
As perguntas são:
a) Encontrar a matriz triangular superior R da fatoração A=Q R.
b) Resolver a equação A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y} por mínimos quadrados, usando R.
Observação importante (não é resolução ainda): ao olhar para A e aplicar Gram–Schmidt, a primeira coluna de Q coincide com a_1/\|a_1\| (ok), e a segunda coluna esperada deveria ser \frac{1}{25}\begin{pmatrix}10\\[2pt]-20\\[2pt]-10\\[2pt]5\end{pmatrix} (isto é, primeiro elemento 10, não 5) para que as colunas de Q fiquem ortonormais e a fatoração QR padrão funcione. Há uma pequena inconsistência no elemento Q_{1,2} fornecido. Vou proceder assumindo a versão coerente (isto é, que a segunda coluna de Q é \frac{1}{25}(10,-20,-10,5)^T), porque é a versão que corresponde à fatoração QR ortonormal obtida por Gram–Schmidt a partir de A. Se preferir, no final posso repetir os cálculos usando exatamente o Q escrito no enunciado, mas isso não daria uma Q ortonormal nem a forma triangular usual de R.]
Passo 2
Rápida explicação do método (passo-a-passo didático e o porquê):
Na fatoração QR ortonormal, Q tem colunas ortonormais (Q^T Q=I) e R é triangular superior.
Uma relação prática útil é
R = Q^T A,
porque multiplicando A=Q R à esquerda por Q^T (e usando Q^TQ=I) obtemos Q^T A = R.
Para resolver o problema de mínimos quadrados (encontrar \hat{\boldsymbol{x}} que minimiza \|A\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|), se A=Q R e as colunas de Q são ortonormais, a solução por mínimos quadrados é obtida resolvendo o sistema triangular
R\boldsymbol{x} = Q^T \boldsymbol{y}.
Isto é rápido porque R é triangular superior e resolve-se por substituição regressiva.
Agora vou aplicar essas fórmulas passo a passo ao nosso caso (usando a versão coerente de Q descrita no Passo 1).
Passo 3
Calcular r_{11}=\|a_1\|. Explico a fórmula: a norma euclidiana de um vetor v=(v_1,\dots,v_n) é \|v\|=\sqrt{v_1^2+\cdots+v_n^2}. Aqui a_1 (primeira coluna de A) é
Obter o segundo vetor ortonormal q_2: primeiro removemos de a_2 a projeção na direção de q_1,
u_2 = a_2 - r_{12} q_1.
Calcule componente a componente (faço em frações para ficar limpinho): r_{12}q_1 = 4\cdot\frac{1}{5}a_1 = \frac{4}{5}\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ -2\\\ -4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8/5\\[2pt]4/5\\[2pt]-8/5\\[2pt]-16/5\end{pmatrix}. Então
Agora resolver os mínimos quadrados. Recordando a fórmula: como A=Q R e Q tem colunas ortonormais, multiplicando A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y} à esquerda por Q^T obtemos
Q^T A \boldsymbol{x} = Q^T \boldsymbol{y} \quad\Longrightarrow\quad R \boldsymbol{x} = Q^T \boldsymbol{y}.
Então basta calcular Q^T \boldsymbol{y} e resolver o sistema triangular R\boldsymbol{x}=Q^T\boldsymbol{y}.
Passo 8
Calcular Q^T y. Já temos q_1=\tfrac{1}{5}a_1 e q_2=u_2. Então
é a solução por mínimos quadrados de A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y} (isto é, minimiza \|A\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|). Boa! Fizemos passo a passo: obtivemos R e usamos R para resolver o sistema triangular.]