Questão 4: (2 pontos)

Seja a matriz A=Q R, com A e Q dados abaixo. Temos que Q e R são dados pela chamada fatoração QR.
a) Encontre a matriz triangular superior R;
b) Resolva a equação A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y} por mínimos quadrados, onde \boldsymbol{y} também é dado abaixo, utilizando a matriz R.
A=\left[\begin{array}{rr} 2 & 2 \\\\ 1 & 0 \\\\ -2 & -2 \\\\ -4 & -3 \end{array}\right] \quad Q=\frac{1}{25}\left[\begin{array}{rr} 10 & 5 \\\\ 5 & -20 \\\\ -10 & -10 \\\\ -20 & 5 \end{array}\right] ; y=\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ -4 \\\\ 4 \\\\ 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá as matrizes e o vetor abaixo e pede duas coisas:
A=\begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt] 1 & 0 \\[4pt] -2 & -2 \\[4pt] -4 & -3\end{pmatrix},\qquad Q=\frac{1}{25}\begin{pmatrix}10 & 5 \\[4pt] 5 & -20 \\[4pt] -10 & -10 \\[4pt] -20 & 5\end{pmatrix},\qquad y=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-4\\[4pt]4\\[4pt]1\end{pmatrix}.
As perguntas são:
a) Encontrar a matriz triangular superior R da fatoração A=Q R.
b) Resolver a equação A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y} por mínimos quadrados, usando R.
Observação importante (não é resolução ainda): ao olhar para A e aplicar Gram–Schmidt, a primeira coluna de Q coincide com a_1/\|a_1\| (ok), e a segunda coluna esperada deveria ser \frac{1}{25}\begin{pmatrix}10\\[2pt]-20\\[2pt]-10\\[2pt]5\end{pmatrix} (isto é, primeiro elemento 10, não 5) para que as colunas de Q fiquem ortonormais e a fatoração QR padrão funcione. Há uma pequena inconsistência no elemento Q_{1,2} fornecido. Vou proceder assumindo a versão coerente (isto é, que a segunda coluna de Q é \frac{1}{25}(10,-20,-10,5)^T), porque é a versão que corresponde à fatoração QR ortonormal obtida por Gram–Schmidt a partir de A. Se preferir, no final posso repetir os cálculos usando exatamente o Q escrito no enunciado, mas isso não daria uma Q ortonormal nem a forma triangular usual de R.]

Passo 2

Rápida explicação do método (passo-a-passo didático e o porquê):
  • Na fatoração QR ortonormal, Q tem colunas ortonormais ( Q^T Q=I) e R é triangular superior.
  • Uma relação prática útil é
R = Q^T A,
porque multiplicando A=Q R à esquerda por Q^T (e usando Q^TQ=I) obtemos Q^T A = R.
  • Para resolver o problema de mínimos quadrados (encontrar \hat{\boldsymbol{x}} que minimiza \|A\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|), se A=Q R e as colunas de Q são ortonormais, a solução por mínimos quadrados é obtida resolvendo o sistema triangular
R\boldsymbol{x} = Q^T \boldsymbol{y}.
Isto é rápido porque R é triangular superior e resolve-se por substituição regressiva.
Agora vou aplicar essas fórmulas passo a passo ao nosso caso (usando a versão coerente de Q descrita no Passo 1).

Passo 3

Calcular r_{11}=\|a_1\|. Explico a fórmula: a norma euclidiana de um vetor v=(v_1,\dots,v_n) é \|v\|=\sqrt{v_1^2+\cdots+v_n^2}. Aqui a_1 (primeira coluna de A) é
a_1=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]-2\\[2pt]-4\end{pmatrix}.
Soma dos quadrados: 2^2+1^2+(-2)^2+(-4)^2 = 4+1+4+16 = 25. Logo
r_{11}=\|a_1\|=\sqrt{25}=5.]

Passo 4

Calcular q_1 e r_{12}. Definições: q_1=a_1/r_{11} é o primeiro vetor ortonormal; e r_{12}=q_1^T a_2 é a componente de a_2 na direção de q_1.
Primeiro,
q_1=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]-2\\[2pt]-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0,4\\[2pt]0,2\\[2pt]-0,4\\[2pt]-0,8\end{pmatrix},
que coincide com a primeira coluna coerente de Q. Agora a_2 (segunda coluna de A) é
a_2=\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]-2\\[2pt]-3\end{pmatrix}.
O produto interno (explicando: u^Tv=\sum u_i v_i) dá
r_{12}=q_1^T a_2=\frac{1}{5}(2\cdot2 + 1\cdot0 + (-2)\cdot(-2) + (-4)\cdot(-3))=\frac{1}{5}(4+0+4+12)=\frac{20}{5}=4.]

Passo 5

Obter o segundo vetor ortonormal q_2: primeiro removemos de a_2 a projeção na direção de q_1,
u_2 = a_2 - r_{12} q_1.
Calcule componente a componente (faço em frações para ficar limpinho): r_{12}q_1 = 4\cdot\frac{1}{5}a_1 = \frac{4}{5}\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ -2\\\ -4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8/5\\[2pt]4/5\\[2pt]-8/5\\[2pt]-16/5\end{pmatrix}. Então
u_2 = \begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]-2\\[2pt]-3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}8/5\\[2pt]4/5\\[2pt]-8/5\\[2pt]-16/5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2-8/5\\[2pt]0-4/5\\[2pt]-2+8/5\\[2pt]-3+16/5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2/5\\[2pt]-4/5\\[2pt]-2/5\\[2pt]1/5\end{pmatrix}.
Agora calcule a norma de u_2:
\|u_2\|^2=\left(\frac{2}{5}\right)^2+\left(\frac{-4}{5}\right)^2+\left(\frac{-2}{5}\right)^2+\left(\frac{1}{5}\right)^2 =\frac{4+16+4+1}{25}=\frac{25}{25}=1,
portanto \|u_2\|=1. Assim r_{22}=\|u_2\|=1 e
q_2=\frac{u_2}{r_{22}}=u_2=\begin{pmatrix}2/5\\[2pt]-4/5\\[2pt]-2/5\\[2pt]1/5\end{pmatrix}.
Note que isso coincide com a segunda coluna coerente de Q (com primeiro elemento 10/25=2/5).]

Passo 6

Construir R. Pela construção de Gram–Schmidt temos a matriz triangular superior R com entradas
r_{11}=5,\quad r_{12}=4,\quad r_{22}=1,\quad r_{21}=0.
Logo
R=\begin{pmatrix}5 & 4 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Isto responde a letra (a).]

Passo 7

Agora resolver os mínimos quadrados. Recordando a fórmula: como A=Q R e Q tem colunas ortonormais, multiplicando A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y} à esquerda por Q^T obtemos
Q^T A \boldsymbol{x} = Q^T \boldsymbol{y} \quad\Longrightarrow\quad R \boldsymbol{x} = Q^T \boldsymbol{y}.
Então basta calcular Q^T \boldsymbol{y} e resolver o sistema triangular R\boldsymbol{x}=Q^T\boldsymbol{y}.

Passo 8

Calcular Q^T y. Já temos q_1=\tfrac{1}{5}a_1 e q_2=u_2. Então
q_1^T y = \frac{1}{5}a_1^T y=\frac{1}{5}(2\cdot3 + 1\cdot(-4) + (-2)\cdot4 + (-4)\cdot1) =\frac{1}{5}(6-4-8-4)=\frac{-10}{5}=-2.
E
q_2^T y = \begin{pmatrix}2/5 & -4/5 & -2/5 & 1/5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\[2pt]-4\\[2pt]4\\[2pt]1\end{pmatrix} =\frac{1}{5}(2\cdot3 + (-4)\cdot(-4) + (-2)\cdot4 + 1\cdot1) =\frac{15}{5}=3.
Portanto
Q^T y = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 9

Resolver R\boldsymbol{x}=Q^T y\). Escrevendo o sistema (com \(R=\begin{pmatrix}5 & 4\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}\)): \[\begin{cases} 5 x_1 + 4 x_2 = -2,\\[4pt] \phantom{5}0 x_1 + 1 x_2 = 3. \end{cases}
Da segunda equação vem imediatamente (x_2=3]. Substituindo na primeira:
5 x_1 + 4\cdot 3 = -2 \quad\Longrightarrow\quad 5 x_1 + 12 = -2 \quad\Longrightarrow\quad 5 x_1 = -14.
Logo
x_1=-\frac{14}{5}.]

Passo 10

Interpretando o resultado: o vetor encontrado
\hat{\boldsymbol{x}}=\begin{pmatrix}-\tfrac{14}{5}\\[4pt]3\end{pmatrix}
é a solução por mínimos quadrados de A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y} (isto é, minimiza \|A\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|). Boa! Fizemos passo a passo: obtivemos R e usamos R para resolver o sistema triangular.]

Resposta

R=\begin{pmatrix}5 & 4\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}
\displaystyle \hat{\boldsymbol{x}}=\begin{pmatrix}-\tfrac{14}{5}\\[6pt]3\end{pmatrix}]

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