Seja W o subespaço gerado pelos vetores \left\{\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}\right\} abaixo. Escreva \boldsymbol{y} como uma soma de um vetor em W(\hat{y}) e outro ortogonal à W(z).
O enunciado pede: escrever \boldsymbol{y} como soma de um vetor em W (vou chamar de \hat{\boldsymbol{y}}) e de um vetor ortogonal a W (vou chamar de \boldsymbol{z}). Ou seja, encontrar \hat{\boldsymbol{y}}\in W e \boldsymbol{z} tais que
onde a,b são escalares desconhecidos. A condição de ortogonalidade de \boldsymbol{z}=\boldsymbol{y}-\hat{\boldsymbol{y}} a W significa que \boldsymbol{z} deve ser ortogonal a \boldsymbol{u}_1 e a \boldsymbol{u}_2. Ou seja:
Observação importante: \boldsymbol{u}_1 e \boldsymbol{u}_2 são ortogonais entre si porque o produto interno deu 0. Isso simplifica muito as contas.
Agora os produtos com \boldsymbol{y}:
Também \hat{\boldsymbol{y}} é combinação linear de \boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2, logo \hat{\boldsymbol{y}}\in W. Portanto cumprimos a decomposição desejada.