Questão 2: (2 pontos)

Seja W o subespaço gerado pelos vetores \left\{\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}\right\} abaixo. Escreva \boldsymbol{y} como uma soma de um vetor em W(\hat{y}) e outro ortogonal à W(z).
\boldsymbol{y}=\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ -3 \\\\ 3 \\\\ 3 \end{array}\right] ; \boldsymbol{u}_{1}=\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ -1 \\\\ 0 \\\\ -1 \end{array}\right] ; \boldsymbol{u}_{2}=\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ 0 \\\\ -2 \\\\ -2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: escrever \boldsymbol{y} como soma de um vetor em W (vou chamar de \hat{\boldsymbol{y}}) e de um vetor ortogonal a W (vou chamar de \boldsymbol{z}). Ou seja, encontrar \hat{\boldsymbol{y}}\in W e \boldsymbol{z} tais que
\boldsymbol{y}=\hat{\boldsymbol{y}}+\boldsymbol{z},
com \hat{\boldsymbol{y}} gerado por \{\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2\} e \boldsymbol{z} ortogonal a todo vetor de W. Dados fornecidos:
\boldsymbol{y}=\begin{pmatrix}-3\\\ -3\\\ 3\\\ 3\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{u}_1=\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{u}_2=\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ -2\\\ -2\end{pmatrix}.

Passo 2

Vamos parametrizar \hat{\boldsymbol{y}} como combinação linear dos geradores de W:
\hat{\boldsymbol{y}}=a\boldsymbol{u}_1+b\boldsymbol{u}_2,
onde a,b são escalares desconhecidos. A condição de ortogonalidade de \boldsymbol{z}=\boldsymbol{y}-\hat{\boldsymbol{y}} a W significa que \boldsymbol{z} deve ser ortogonal a \boldsymbol{u}_1 e a \boldsymbol{u}_2. Ou seja:
(\boldsymbol{y}-a\boldsymbol{u}_1-b\boldsymbol{u}_2)\cdot\boldsymbol{u}_1=0 \quad\text{e}\quad (\boldsymbol{y}-a\boldsymbol{u}_1-b\boldsymbol{u}_2)\cdot\boldsymbol{u}_2=0.
Aqui \cdot é o produto interno euclidiano: para vetores \boldsymbol{v},\boldsymbol{w} em \mathbb{R}^4,
\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w}=v_1w_1+v_2w_2+v_3w_3+v_4w_4.

Passo 3

Expandindo as igualdades do passo anterior obtemos o sistema linear para a,b:
\boldsymbol{y}\cdot\boldsymbol{u}_1-a(\boldsymbol{u}_1\cdot\boldsymbol{u}_1)-b(\boldsymbol{u}_2\cdot\boldsymbol{u}_1)=0,
\boldsymbol{y}\cdot\boldsymbol{u}_2-a(\boldsymbol{u}_1\cdot\boldsymbol{u}_2)-b(\boldsymbol{u}_2\cdot\boldsymbol{u}_2)=0.
Isso é um sistema 2×2 nas incógnitas a,b. Vamos calcular todos os produtos internos necessários.

Passo 4

Calculemos os produtos internos um a um (a partir das componentes dadas):
\boldsymbol{u}_1\cdot\boldsymbol{u}_1 = (-1)^2+(-1)^2+0^2+(-1)^2 = 1+1+0+1 = 3.
\boldsymbol{u}_2\cdot\boldsymbol{u}_2 = 2^2+0^2+(-2)^2+(-2)^2 = 4+0+4+4 = 12.
\boldsymbol{u}_1\cdot\boldsymbol{u}_2 = (-1)\cdot2+(-1)\cdot0+0\cdot(-2)+(-1)\cdot(-2) = -2+0+0+2 = 0.
Observação importante: \boldsymbol{u}_1 e \boldsymbol{u}_2 são ortogonais entre si porque o produto interno deu 0. Isso simplifica muito as contas.
Agora os produtos com \boldsymbol{y}:
\boldsymbol{y}\cdot\boldsymbol{u}_1 = (-3)(-1)+(-3)(-1)+3\cdot0+3(-1) = 3+3+0-3 = 3.
\boldsymbol{y}\cdot\boldsymbol{u}_2 = (-3)\cdot2+(-3)\cdot0+3\cdot(-2)+3\cdot(-2) = -6+0-6-6 = -18.

Passo 5

Substituindo os valores no sistema:
3 - a\cdot 3 - b\cdot 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad 3-3a=0,
-18 - a\cdot 0 - b\cdot 12 = 0 \quad\Rightarrow\quad -18-12b=0.
Como \boldsymbol{u}_1 e \boldsymbol{u}_2 são ortogonais, as equações seseparam. Resolvendo:
3-3a=0 \implies a=1,
-18-12b=0 \implies b=-\frac{18}{12}=-\frac{3}{2}.

Passo 6

Agora encontramos \hat{\boldsymbol{y}}=a\boldsymbol{u}_1+b\boldsymbol{u}_2 com a=1 e b=-\tfrac{3}{2}. Calculemos componente a componente:
1\cdot\boldsymbol{u}_1 = \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix},\qquad -\tfrac{3}{2}\cdot\boldsymbol{u}_2 = -\tfrac{3}{2}\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ -2\\\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\\ 0\\\ 3\\\ 3\end{pmatrix}.
Somando:
\hat{\boldsymbol{y}} = \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-3\\\ 0\\\ 3\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\\ -1\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 7

O vetor ortogonal \boldsymbol{z} é a diferença \boldsymbol{y}-\hat{\boldsymbol{y}}:
\boldsymbol{z} = \begin{pmatrix}-3\\\ -3\\\ 3\\\ 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-4\\\ -1\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 8

Verificação rápida (útil na prova): confirmamos que \boldsymbol{z} é ortogonal a \boldsymbol{u}_1 e a \boldsymbol{u}_2:
\boldsymbol{z}\cdot\boldsymbol{u}_1 = 1\cdot(-1)+(-2)\cdot(-1)+0\cdot0+1\cdot(-1) = -1+2+0-1=0,
\boldsymbol{z}\cdot\boldsymbol{u}_2 = 1\cdot2+(-2)\cdot0+0\cdot(-2)+1\cdot(-2) = 2+0+0-2=0.
Também \hat{\boldsymbol{y}} é combinação linear de \boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2, logo \hat{\boldsymbol{y}}\in W. Portanto cumprimos a decomposição desejada.

Resposta

\hat{\boldsymbol{y}}=\begin{pmatrix}-4\\\ -1\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix}
\boldsymbol{z}=\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}

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