Mostre os cálculos necessários para que se chegue à resposta correta.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar uma base ortonormal do subespaço de \mathbb{R}^4 gerado pelos vetores v_{1} e v_{2}. Ou seja, queremos dois vetores ortogonais entre si, de norma 1, que gerem o mesmo subespaço que v_{1} e v_{2}.
Escolha do método (explicação didática): vou usar o processo de Gram–Schmidt, que transforma um conjunto de vetores linearmente independentes num conjunto ortogonal (e depois normalizamos para ficar ortonormal). Isso é apropriado porque já temos dois vetores que geram o subespaço e queremos uma base ortonormal desse mesmo subespaço.
Conceitos que vou usar (explicando):
Produto interno (produto escalar) em \mathbb{R}^4: para x=(x_1,x_2,x_3,x_4) e y=(y_1,y_2,y_3,y_4),
\langle x,y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4.
Norma de um vetor x: \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}.
No Gram–Schmidt, para dois vetores v_1,v_2 fazemos u_1=v_1, u_2=v_2-\operatorname{proj}_{u_1}(v_2), e então normalizamos u_1,u_2 para obter a base ortonormal.
Passo 3
Primeira etapa do Gram–Schmidt: tomar u_1=v_1 e calcular sua norma para normalizar.
Agora normalizamos u_2 para obter e_2. Primeiro a norma de u_2:
usando a fatoração u_2=\tfrac{9}{2}w com w=\begin{bmatrix}-1\\\ -1\\\ -1\\\ 1\end{bmatrix}, temos