Questão 3: (2 pontos)

Encontre uma base ortonormal para o espaço vetorial formado pela combinação linear dos dois vetores abaixo:
v_{1}=\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right] ; v_{2}=\left[\begin{array}{r} -5 \\\\ -4 \\\\ -4 \\\\ 5 \end{array}\right]
Mostre os cálculos necessários para que se chegue à resposta correta.

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar uma base ortonormal do subespaço de \mathbb{R}^4 gerado pelos vetores v_{1} e v_{2}. Ou seja, queremos dois vetores ortogonais entre si, de norma 1, que gerem o mesmo subespaço que v_{1} e v_{2}.
Dados fornecidos:
v_{1}=\begin{bmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{bmatrix},\qquad v_{2}=\begin{bmatrix}-5\\[4pt]-4\\[4pt]-4\\[4pt]5\end{bmatrix}.]

Passo 2

Escolha do método (explicação didática): vou usar o processo de Gram–Schmidt, que transforma um conjunto de vetores linearmente independentes num conjunto ortogonal (e depois normalizamos para ficar ortonormal). Isso é apropriado porque já temos dois vetores que geram o subespaço e queremos uma base ortonormal desse mesmo subespaço.
Conceitos que vou usar (explicando):
  • Produto interno (produto escalar) em \mathbb{R}^4: para x=(x_1,x_2,x_3,x_4) e y=(y_1,y_2,y_3,y_4),
\langle x,y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4.
  • Norma de um vetor x: \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}.
  • Projeção de v sobre u (quando u\neq 0):
\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
No Gram–Schmidt, para dois vetores v_1,v_2 fazemos u_1=v_1, u_2=v_2-\operatorname{proj}_{u_1}(v_2), e então normalizamos u_1,u_2 para obter a base ortonormal.

Passo 3

Primeira etapa do Gram–Schmidt: tomar u_1=v_1 e calcular sua norma para normalizar.
Calcule o produto interno \langle v_1,v_1\rangle:
\langle v_1,v_1\rangle = (-1)^2+1^2+1^2+1^2 = 1+1+1+1 = 4.
Logo a norma é
\|v_1\|=\sqrt{4}=2.
Portanto o primeiro vetor normalizado é
e_1=\frac{v_1}{\|v_1\|}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{bmatrix}.]

Passo 4

Agora vamos construir u_2 ortogonal a u_1 usando v_2. Primeiro calculamos o coeficiente da projeção de v_2 sobre u_1(=v_1).
Calcule \langle v_2,v_1\rangle:
\langle v_2,v_1\rangle = (-5)(-1)+(-4)(1)+(-4)(1)+5(1)=5-4-4+5=2.
E já temos \langle v_1,v_1\rangle=4 do passo anterior. Então
\operatorname{proj}_{v_1}(v_2)=\frac{\langle v_2,v_1\rangle}{\langle v_1,v_1\rangle}v_1 =\frac{2}{4}v_1=\tfrac{1}{2}v_1.

Passo 5

Subtraímos a projeção para obter u_2 ortogonal a u_1:
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{v_1}(v_2) = v_2 - \tfrac{1}{2}v_1.
Computando componente a componente (vou mostrar em frações para ficar exato):
u_2=\begin{bmatrix}-5\\[4pt]-4\\[4pt]-4\\[4pt]5\end{bmatrix} -\tfrac{1}{2}\begin{bmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-5+\tfrac{1}{2}\\[4pt]-4-\tfrac{1}{2}\\[4pt]-4-\tfrac{1}{2}\\[4pt]5-\tfrac{1}{2}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-\tfrac{9}{2}\\[4pt]-\tfrac{9}{2}\\[4pt]-\tfrac{9}{2}\\[4pt]\tfrac{9}{2}\end{bmatrix}.
Observação: podemos fatorar \tfrac{9}{2}:
u_2=\tfrac{9}{2}\begin{bmatrix}-1\\[4pt]-1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{bmatrix}.]

Passo 6

Verificamos que u_2 é ortogonal a u_1 (apenas para checagem):
calcule \langle u_2,v_1\rangle. Como subtraímos exatamente a projeção, deve dar zero:
\langle u_2,v_1\rangle = \langle v_2-\tfrac{1}{2}v_1,v_1\rangle = \langle v_2,v_1\rangle - \tfrac{1}{2}\langle v_1,v_1\rangle =2 - \tfrac{1}{2}\cdot 4 = 2-2=0.
Ótimo — u_2 é orthogonal a v_1.

Passo 7

Agora normalizamos u_2 para obter e_2. Primeiro a norma de u_2:
usando a fatoração u_2=\tfrac{9}{2}w com w=\begin{bmatrix}-1\\\ -1\\\ -1\\\ 1\end{bmatrix}, temos
\|w\|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{4}=2,
portanto
\|u_2\|=\tfrac{9}{2}\|w\|=\tfrac{9}{2}\cdot 2=9.
Então o vetor unitário correspondente é
e_2=\frac{u_2}{\|u_2\|}=\frac{1}{9}\begin{bmatrix}-\tfrac{9}{2}\\[4pt]-\tfrac{9}{2}\\[4pt]-\tfrac{9}{2}\\[4pt]\tfrac{9}{2}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{bmatrix}.]

Passo 8

Checagem final rápida (para nos deixar confiantes): calcule \langle e_1,e_2\rangle e as normas.
\langle e_1,e_2\rangle = (-\tfrac{1}{2})(-\tfrac{1}{2}) + \tfrac{1}{2}(-\tfrac{1}{2}) + \tfrac{1}{2}(-\tfrac{1}{2}) + \tfrac{1}{2}(\tfrac{1}{2}) = \tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}=0.
E \|e_1\|=\|e_2\|=1 por construção. Portanto \{e_1,e_2\} é uma base ortonormal do subespaço gerado por v_1,v_2.

Resposta

\begin{bmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{bmatrix},\qquad \begin{bmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{bmatrix}

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